MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbasfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbasfi 18013
Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbasfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfi 8422 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin)
21anidms 556 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin)
3 symgbas.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 symgbas.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4symgbas 18007 . . . 4 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
6 f1of 6279 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑓:𝐴𝐴)
76ss2abi 3823 . . . 4 {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐴}
85, 7eqsstri 3784 . . 3 𝐵 ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐴}
9 mapvalg 8023 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴𝑚 𝐴) = {𝑓𝑓:𝐴𝐴})
109anidms 556 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴𝑚 𝐴) = {𝑓𝑓:𝐴𝐴})
118, 10syl5sseqr 3803 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴𝑚 𝐴))
12 ssfi 8340 . 2 (((𝐴𝑚 𝐴) ∈ Fin ∧ 𝐵 ⊆ (𝐴𝑚 𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
132, 11, 12syl2anc 573 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wss 3723  wf 6026  1-1-ontowf1o 6029  cfv 6030  (class class class)co 6796  𝑚 cmap 8013  Fincfn 8113  Basecbs 16064  SymGrpcsymg 18004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-plusg 16162  df-tset 16168  df-symg 18005
This theorem is referenced by:  mdetleib2  20612  mdetf  20619  mdetrlin  20626  mdetrsca  20627  mdetralt  20632  m2detleib  20655  smadiadetlem3  20693  smadiadet  20695  mdetpmtr1  30229
  Copyright terms: Public domain W3C validator