Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbas 17846
 Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbas 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 f1of 6175 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥:𝐴𝐴)
3 elmapg 7912 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
43anidms 678 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ V → (𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴) ↔ 𝑥:𝐴𝐴))
52, 4syl5ibr 236 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ (𝐴𝑚 𝐴)))
65abssdv 3709 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴))
7 ovex 6718 . . . . . 6 (𝐴𝑚 𝐴) ∈ V
8 ssexg 4837 . . . . . 6 (({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ (𝐴𝑚 𝐴) ∧ (𝐴𝑚 𝐴) ∈ V) → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
96, 7, 8sylancl 695 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V)
10 eqid 2651 . . . . . 6 {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
1110topgrpbas 16090 . . . . 5 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
129, 11syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
13 symgbas.1 . . . . . 6 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
14 eqid 2651 . . . . . 6 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
15 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔)) = (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))
16 eqid 2651 . . . . . 6 (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
1713, 14, 15, 16symgval 17845 . . . . 5 (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
1817fveq2d 6233 . . . 4 (𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}, 𝑔 ∈ {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ↦ (𝑓𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
1912, 18eqtr4d 2688 . . 3 (𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺))
20 base0 15959 . . . 4 ∅ = (Base‘∅)
21 f1odm 6179 . . . . . . . . 9 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴 → dom 𝑥 = 𝐴)
22 vex 3234 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2322dmex 7141 . . . . . . . . 9 dom 𝑥 ∈ V
2421, 23syl6eqelr 2739 . . . . . . . 8 (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝐴 ∈ V)
2524con3i 150 . . . . . . 7 𝐴 ∈ V → ¬ 𝑥:𝐴1-1-onto𝐴)
2625pm2.21d 118 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (𝑥:𝐴1-1-onto𝐴𝑥 ∈ ∅))
2726abssdv 3709 . . . . 5 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ ∅)
28 ss0 4007 . . . . 5 ({𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ ∅ → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = ∅)
2927, 28syl 17 . . . 4 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = ∅)
30 fvprc 6223 . . . . . 6 𝐴 ∈ V → (SymGrp‘𝐴) = ∅)
3113, 30syl5eq 2697 . . . . 5 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
3231fveq2d 6233 . . . 4 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
3320, 29, 323eqtr4a 2711 . . 3 𝐴 ∈ V → {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺))
3419, 33pm2.61i 176 . 2 {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴} = (Base‘𝐺)
351, 34eqtr4i 2676 1 𝐵 = {𝑥𝑥:𝐴1-1-onto𝐴}
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  Vcvv 3231   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {ctp 4214  ⟨cop 4216   × cxp 5141  dom cdm 5143   ∘ ccom 5147  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690   ↦ cmpt2 6692   ↑𝑚 cmap 7899  ndxcnx 15901  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  TopSetcts 15994  ∏tcpt 16146  SymGrpcsymg 17843 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-symg 17844 This theorem is referenced by:  elsymgbas2  17847  symghash  17851  symgbasfi  17852  symgplusg  17855  symgbas0  17860  symg1bas  17862  symgtset  17865
 Copyright terms: Public domain W3C validator