Theorem symg1bas 17862

Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S₁ consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symg1bas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
symg1bas.0	⊢ 𝐴 = {𝐼}

Assertion

Ref	Expression
symg1bas	⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Proof of Theorem symg1bas

Dummy variables 𝑓 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symg1bas.1	. . 3 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
2		symg1bas.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3	1, 2	symgbas 17846	. 2 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
4		symg1bas.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = {𝐼}
5		eqidd 2652	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝑝 = 𝑝)
6		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → 𝐴 = {𝐼})
7	5, 6, 6	f1oeq123d 6171	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = {𝐼} → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
8	4, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
9		f1of 6175	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝:{𝐼}⟶{𝐼})
10		fsng 6444	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
11	10	anidms 678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}⟶{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
12	9, 11	syl5ib 234	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} → 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
13		f1osng 6215	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
14	13	anidms 678	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼})
15		f1oeq1 6165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ {⟨𝐼, 𝐼⟩}:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
16	14, 15	syl5ibrcom 237	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩} → 𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼}))
17	12, 16	impbid 202	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:{𝐼}–1-1-onto→{𝐼} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
18	8, 17	syl5bb 272	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩}))
19		vex 3234	. . . . 5 ⊢ 𝑝 ∈ V
20		f1oeq1 6165	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑝 → (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴))
21	19, 20	elab 3382	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝:𝐴–1-1-onto→𝐴)
22		velsn 4226	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}} ↔ 𝑝 = {⟨𝐼, 𝐼⟩})
23	18, 21, 22	3bitr4g 303	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (𝑝 ∈ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ↔ 𝑝 ∈ {{⟨𝐼, 𝐼⟩}}))
24	23	eqrdv 2649	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})
25	3, 24	syl5eq 2697	1 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝐵 = {{⟨𝐼, 𝐼⟩}})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  {cab 2637  {csn 4210  ⟨cop 4216  ⟶wf 5922  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926  Basecbs 15904  SymGrpcsymg 17843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-plusg 16001  df-tset 16007  df-symg 17844

This theorem is referenced by:  symg2bas  17864  psgnsn  17986  m1detdiag  20451