Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem5 18253
 Description: Lemma for sylow3 18255, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 18249 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem5.a + = (+g𝐺)
sylow3lem5.d = (-g𝐺)
sylow3lem5.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem5.m = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
sylow3lem5 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝐾,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem5
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem5.k . . . . . 6 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
2 slwsubg 18232 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
31, 2syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 sylow3.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
54subgss 17803 . . . . 5 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝑋)
7 ssid 3773 . . . 4 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)
8 resmpt2 6905 . . . 4 ((𝐾𝑋 ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
96, 7, 8sylancl 574 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
10 sylow3lem5.m . . 3 = (𝑥𝐾, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
119, 10syl6eqr 2823 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) = )
12 sylow3.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
13 sylow3.xf . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
14 sylow3.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
15 sylow3lem5.a . . . 4 + = (+g𝐺)
16 sylow3lem5.d . . . 4 = (-g𝐺)
17 oveq2 6801 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑐 → (𝑥 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑐))
1817oveq1d 6808 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑐 → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑥 + 𝑐) 𝑥))
1918cbvmptv 4884 . . . . . . 7 (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) 𝑥))
20 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎 → (𝑥 + 𝑐) = (𝑎 + 𝑐))
21 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑎𝑥 = 𝑎)
2220, 21oveq12d 6811 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑎 → ((𝑥 + 𝑐) 𝑥) = ((𝑎 + 𝑐) 𝑎))
2322mpteq2dv 4879 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑎 → (𝑐𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑐) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2419, 23syl5eq 2817 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑎 → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2524rneqd 5491 . . . . 5 (𝑥 = 𝑎 → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
26 mpteq1 4871 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑏 → (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)) = (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2726rneqd 5491 . . . . 5 (𝑦 = 𝑏 → ran (𝑐𝑦 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)) = ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
2825, 27cbvmpt2v 6882 . . . 4 (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑎𝑋, 𝑏 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑐𝑏 ↦ ((𝑎 + 𝑐) 𝑎)))
294, 12, 13, 14, 15, 16, 28sylow3lem1 18249 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
30 eqid 2771 . . . 4 (𝐺s 𝐾) = (𝐺s 𝐾)
3130gasubg 17942 . . 3 (((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺)) → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
3229, 3, 31syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↾ (𝐾 × (𝑃 pSyl 𝐺))) ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
3311, 32eqeltrrd 2851 1 (𝜑 ∈ ((𝐺s 𝐾) GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3723   ↦ cmpt 4863   × cxp 5247  ran crn 5250   ↾ cres 5251  ‘cfv 6031  (class class class)co 6793   ↦ cmpt2 6795  Fincfn 8109  ℙcprime 15592  Basecbs 16064   ↾s cress 16065  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17630  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796   GrpAct cga 17929   pSyl cslw 18154 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-disj 4755  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-ec 7898  df-qs 7902  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-eqg 17801  df-ghm 17866  df-ga 17930  df-od 18155  df-pgp 18157  df-slw 18158 This theorem is referenced by:  sylow3lem6  18254
 Copyright terms: Public domain W3C validator