MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem4 18251
Description: Lemma for sylow3 18254, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow3.xf . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow3.p . . 3 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow3lem1.a . . 3 + = (+g𝐺)
6 sylow3lem1.d . . 3 = (-g𝐺)
7 sylow3lem1.m . . 3 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
8 sylow3lem2.k . . 3 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9 sylow3lem2.h . . 3 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
10 sylow3lem2.n . . 3 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 18250 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12 slwsubg 18231 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14 eqid 2770 . . . . . . . . . . 11 (𝐺s 𝑁) = (𝐺s 𝑁)
1510, 1, 5, 14nmznsg 17845 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)))
16 nsgsubg 17833 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1813, 17syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)))
1910, 1, 5nmzsubg 17842 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2114subgbas 17805 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 = (Base‘(𝐺s 𝑁)))
231subgss 17802 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁𝑋)
25 ssfi 8335 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
263, 24, 25syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
2722, 26eqeltrrd 2850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin)
28 eqid 2770 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝐺s 𝑁)) = (Base‘(𝐺s 𝑁))
2928lagsubg 17863 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺s 𝑁)) ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3018, 27, 29syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3122fveq2d 6336 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑁) = (♯‘(Base‘(𝐺s 𝑁))))
3230, 31breqtrrd 4812 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁))
33 eqid 2770 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3433subg0cl 17809 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐾)
3513, 34syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐾)
36 ne0i 4067 . . . . . . . . . 10 ((0g𝐺) ∈ 𝐾𝐾 ≠ ∅)
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐾 ≠ ∅)
381subgss 17802 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾𝑋)
40 ssfi 8335 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
413, 39, 40syl2anc 565 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
42 hashnncl 13358 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Fin → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
4437, 43mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
4544nnzd 11682 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
46 hashcl 13348 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
4726, 46syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
4847nn0zd 11681 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℤ)
49 pwfi 8416 . . . . . . . . . . 11 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
503, 49sylib 208 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
51 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
521, 51eqger 17851 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
5320, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
5453qsss 7959 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
55 ssfi 8335 . . . . . . . . . 10 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
5650, 54, 55syl2anc 565 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
57 hashcl 13348 . . . . . . . . 9 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
5958nn0zd 11681 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
60 dvdscmul 15216 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
6145, 48, 59, 60syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
6232, 61mpd 15 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
63 hashcl 13348 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
643, 63syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
6564nn0cnd 11554 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
6644nncnd 11237 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
6744nnne0d 11266 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
6865, 66, 67divcan1d 11003 . . . . . 6 (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = (♯‘𝑋))
691, 51, 20, 3lagsubg2 17862 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
7068, 69eqtrd 2804 . . . . 5 (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
7162, 70breqtrrd 4812 . . . 4 (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)))
721lagsubg 17863 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
7313, 3, 72syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
7464nn0zd 11681 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
75 dvdsval2 15191 . . . . . . 7 (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
7645, 67, 74, 75syl3anc 1475 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
7773, 76mpbid 222 . . . . 5 (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ)
78 dvdsmulcr 15219 . . . . 5 (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1479 . . . 4 (𝜑 → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
8071, 79mpbid 222 . . 3 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)))
811, 3, 8slwhash 18245 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
8281oveq2d 6808 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8380, 82breqtrd 4810 . 2 (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
8411, 83eqbrtrd 4806 1 (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196   = wceq 1630  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  {crab 3064  wss 3721  c0 4061  𝒫 cpw 4295   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  cmpt2 6794   Er wer 7892   / cqs 7894  Fincfn 8108  0cc0 10137   · cmul 10142   / cdiv 10885  cn 11221  0cn0 11493  cz 11578  cexp 13066  chash 13320  cdvds 15188  cprime 15591   pCnt cpc 15747  Basecbs 16063  s cress 16064  +gcplusg 16148  0gc0g 16307  Grpcgrp 17629  -gcsg 17631  SubGrpcsubg 17795  NrmSGrpcnsg 17796   ~QG cqg 17797   pSyl cslw 18153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-ga 17929  df-od 18154  df-pgp 18156  df-slw 18157
This theorem is referenced by:  sylow3  18254
  Copyright terms: Public domain W3C validator