Theorem sylow3lem4 18251

Description: Lemma for sylow3 18254, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of 𝐺 reduced by the size of a Sylow subgroup of 𝐺. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a	⊢ + = (+g‘𝐺)
sylow3lem1.d	⊢ − = (-g‘𝐺)
sylow3lem1.m	⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
sylow3lem2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem4	⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧, −   𝑢, ⊕ ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		sylow3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
3		sylow3.xf	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
4		sylow3.p	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℙ)
5		sylow3lem1.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6		sylow3lem1.d	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
7		sylow3lem1.m	. . 3 ⊢ ⊕ = (𝑥 ∈ 𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧 ∈ 𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) − 𝑥)))
8		sylow3lem2.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
9		sylow3lem2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐾) = 𝐾}
10		sylow3lem2.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	sylow3lem3 18250	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
12		slwsubg 18231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
13	8, 12	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
14		eqid 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ↾s 𝑁) = (𝐺 ↾s 𝑁)
15	10, 1, 5, 14	nmznsg 17845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
16		nsgsubg 17833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ (NrmSGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
18	13, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
19	10, 1, 5	nmzsubg 17842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20	2, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
21	14	subgbas 17805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)))
23	1	subgss 17802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁 ⊆ 𝑋)
24	20, 23	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ⊆ 𝑋)
25		ssfi 8335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁 ⊆ 𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
26	3, 24, 25	syl2anc 565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
27	22, 26	eqeltrrd 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin)
28		eqid 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) = (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))
29	28	lagsubg 17863	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∧ (Base‘(𝐺 ↾s 𝑁)) ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
30	18, 27, 29	syl2anc 565	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
31	22	fveq2d 6336	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) = (♯‘(Base‘(𝐺 ↾s 𝑁))))
32	30, 31	breqtrrd 4812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁))
33		eqid 2770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
34	33	subg0cl 17809	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
35	13, 34	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐺) ∈ 𝐾)
36		ne0i 4067	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐾 → 𝐾 ≠ ∅)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≠ ∅)
38	1	subgss 17802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾 ⊆ 𝑋)
39	13, 38	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ⊆ 𝑋)
40		ssfi 8335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾 ⊆ 𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
41	3, 39, 40	syl2anc 565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Fin)
42		hashnncl 13358	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ Fin → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∈ ℕ ↔ 𝐾 ≠ ∅))
44	37, 43	mpbird 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℕ)
45	44	nnzd 11682	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℤ)
46		hashcl 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
47	26, 46	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
48	47	nn0zd 11681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑁) ∈ ℤ)
49		pwfi 8416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
50	3, 49	sylib 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
51		eqid 2770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
52	1, 51	eqger 17851	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
53	20, 52	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
54	53	qsss 7959	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
55		ssfi 8335	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
56	50, 54, 55	syl2anc 565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
57		hashcl 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
59	58	nn0zd 11681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ)
60		dvdscmul 15216	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
61	45, 48, 59, 60	syl3anc 1475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑁) → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁))))
62	32, 61	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
63		hashcl 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
64	3, 63	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ0)
65	64	nn0cnd 11554	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℂ)
66	44	nncnd 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∈ ℂ)
67	44	nnne0d 11266	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ≠ 0)
68	65, 66, 67	divcan1d 11003	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = (♯‘𝑋))
69	1, 51, 20, 3	lagsubg2 17862	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
70	68, 69	eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) = ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝑁)))
71	62, 70	breqtrrd 4812	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)))
72	1	lagsubg 17863	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
73	13, 3, 72	syl2anc 565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋))
74	64	nn0zd 11681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℤ)
75		dvdsval2 15191	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0 ∧ (♯‘𝑋) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
76	45, 67, 74, 75	syl3anc 1475	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝐾) ∥ (♯‘𝑋) ↔ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ))
77	73, 76	mpbid 222	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ)
78		dvdsmulcr 15219	. . . . 5 ⊢ (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐾) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐾) ≠ 0)) → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
79	59, 77, 45, 67, 78	syl112anc 1479	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (♯‘𝐾)) ∥ (((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) · (♯‘𝐾)) ↔ (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾))))
80	71, 79	mpbid 222	. . 3 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)))
81	1, 3, 8	slwhash 18245	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
82	81	oveq2d 6808	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((♯‘𝑋) / (♯‘𝐾)) = ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
83	80, 82	breqtrd 4810	. 2 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
84	11, 83	eqbrtrd 4806	1 ⊢ (𝜑 → (♯‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∥ ((♯‘𝑋) / (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1630   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2942  ∀wral 3060  {crab 3064   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  𝒫 cpw 4295   class class class wbr 4784   ↦ cmpt 4861  ran crn 5250  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792   ↦ cmpt2 6794   Er wer 7892   / cqs 7894  Fincfn 8108  0cc0 10137   · cmul 10142   / cdiv 10885  ℕcn 11221  ℕ₀cn0 11493  ℤcz 11578  ↑cexp 13066  ♯chash 13320   ∥ cdvds 15188  ℙcprime 15591   pCnt cpc 15747  Basecbs 16063   ↾_s cress 16064  +_gcplusg 16148  0_gc0g 16307  Grpcgrp 17629  -_gcsg 17631  SubGrpcsubg 17795  NrmSGrpcnsg 17796   ~_QG cqg 17797   pSyl cslw 18153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-ga 17929  df-od 18154  df-pgp 18156  df-slw 18157

This theorem is referenced by:  sylow3  18254