MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow3lem3 18090
Description: Lemma for sylow3 18094, first part. The number of Sylow subgroups is the same as the index (number of cosets) of the normalizer of the Sylow subgroup 𝐾. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
sylow3lem2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow3lem2.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
sylow3lem2.n 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
Assertion
Ref Expression
sylow3lem3 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑢,𝑦,𝑧,   𝑢, ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐻,𝑦   𝑢,𝐾,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑁,𝑧   𝑢,𝑋,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝐺,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢, + ,𝑥,𝑦,𝑧   𝑢,𝑃,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝐻(𝑧,𝑢)   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sylow3lem3
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.xf . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
2 pwfi 8302 . . . . . 6 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
31, 2sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
4 slwsubg 18071 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow3.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
65subgss 17642 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑥𝑋)
74, 6syl 17 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥𝑋)
8 selpw 4198 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ 𝒫 𝑋𝑥𝑋)
97, 8sylibr 224 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑋)
109ssriv 3640 . . . . 5 (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋
11 ssfi 8221 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
123, 10, 11sylancl 695 . . . 4 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin)
13 hashcl 13185 . . . 4 ((𝑃 pSyl 𝐺) ∈ Fin → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 11391 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) ∈ ℂ)
16 sylow3.g . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
17 sylow3lem2.n . . . . . . . 8 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐾 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝐾)}
18 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
1917, 5, 18nmzsubg 17682 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
20 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝐺 ~QG 𝑁) = (𝐺 ~QG 𝑁)
215, 20eqger 17691 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2216, 19, 213syl 18 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 ~QG 𝑁) Er 𝑋)
2322qsss 7851 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋)
24 ssfi 8221 . . . . 5 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ⊆ 𝒫 𝑋) → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
253, 23, 24syl2anc 694 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin)
26 hashcl 13185 . . . 4 ((𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁)) ∈ Fin → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2725, 26syl 17 . . 3 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℕ0)
2827nn0cnd 11391 . 2 (𝜑 → (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) ∈ ℂ)
2916, 19syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
30 eqid 2651 . . . . . 6 (0g𝐺) = (0g𝐺)
3130subg0cl 17649 . . . . 5 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
32 ne0i 3954 . . . . 5 ((0g𝐺) ∈ 𝑁𝑁 ≠ ∅)
3329, 31, 323syl 18 . . . 4 (𝜑𝑁 ≠ ∅)
345subgss 17642 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑁𝑋)
3516, 19, 343syl 18 . . . . . 6 (𝜑𝑁𝑋)
36 ssfi 8221 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑁𝑋) → 𝑁 ∈ Fin)
371, 35, 36syl2anc 694 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ Fin)
38 hashnncl 13195 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin → ((#‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
3937, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑁) ∈ ℕ ↔ 𝑁 ≠ ∅))
4033, 39mpbird 247 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℕ)
4140nncnd 11074 . 2 (𝜑 → (#‘𝑁) ∈ ℂ)
4240nnne0d 11103 . 2 (𝜑 → (#‘𝑁) ≠ 0)
43 sylow3.p . . . . 5 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
44 sylow3lem1.d . . . . 5 = (-g𝐺)
45 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
465, 16, 1, 43, 18, 44, 45sylow3lem1 18088 . . . 4 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
47 sylow3lem2.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
48 sylow3lem2.h . . . . 5 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐾) = 𝐾}
49 eqid 2651 . . . . 5 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
50 eqid 2651 . . . . 5 {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
515, 48, 49, 50orbsta2 17793 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)))
5246, 47, 1, 51syl21anc 1365 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)))
535, 20, 29, 1lagsubg2 17702 . . 3 (𝜑 → (#‘𝑋) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
5450, 5gaorber 17787 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5546, 54syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} Er (𝑃 pSyl 𝐺))
5655ecss 7831 . . . . . 6 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺))
5747adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
58 simpr 476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
591adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑋 ∈ Fin)
605, 59, 58, 57, 18, 44sylow2 18087 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
61 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑢 𝐾) = = (𝑢 𝐾))
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
6357adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
64 mptexg 6525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
65 rnexg 7140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
6663, 64, 653syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V)
67 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑦 = 𝐾)
68 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → 𝑥 = 𝑢)
6968oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑢 + 𝑧))
7069, 68oveq12d 6708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))
7167, 70mpteq12dv 4766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7271rneqd 5385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑢𝑦 = 𝐾) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7372, 45ovmpt2ga 6832 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢𝑋𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)) ∈ V) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7462, 63, 66, 73syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 𝐾) = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢)))
7574eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ( = (𝑢 𝐾) ↔ = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7661, 75syl5bb 272 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 𝐾) = = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7776rexbidva 3078 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ↔ ∃𝑢𝑋 = ran (𝑧𝐾 ↦ ((𝑢 + 𝑧) 𝑢))))
7860, 77mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = )
7950gaorb 17786 . . . . . . . . . 10 (𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑢𝑋 (𝑢 𝐾) = ))
8057, 58, 78, 79syl3anbrc 1265 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
81 elecg 7828 . . . . . . . . . 10 (( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ 𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8258, 57, 81syl2anc 694 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ( ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} ↔ 𝐾{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8380, 82mpbird 247 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8483ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → ( ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → ∈ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}))
8584ssrdv 3642 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃 pSyl 𝐺) ⊆ [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)})
8656, 85eqssd 3653 . . . . 5 (𝜑 → [𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)} = (𝑃 pSyl 𝐺))
8786fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) = (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)))
885, 16, 1, 43, 18, 44, 45, 47, 48, 17sylow3lem2 18089 . . . . 5 (𝜑𝐻 = 𝑁)
8988fveq2d 6233 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝐻) = (#‘𝑁))
9087, 89oveq12d 6708 . . 3 (𝜑 → ((#‘[𝐾]{⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ (𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}) · (#‘𝐻)) = ((#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (#‘𝑁)))
9152, 53, 903eqtr3rd 2694 . 2 (𝜑 → ((#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) · (#‘𝑁)) = ((#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))) · (#‘𝑁)))
9215, 28, 41, 42, 91mulcan2ad 10701 1 (𝜑 → (#‘(𝑃 pSyl 𝐺)) = (#‘(𝑋 / (𝐺 ~QG 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {cpr 4212   class class class wbr 4685  {copab 4745  cmpt 4762  ran crn 5144  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692   Er wer 7784  [cec 7785   / cqs 7786  Fincfn 7997   · cmul 9979  cn 11058  0cn0 11330  #chash 13157  cprime 15432  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  0gc0g 16147  Grpcgrp 17469  -gcsg 17471  SubGrpcsubg 17635   ~QG cqg 17637   GrpAct cga 17768   pSyl cslw 17993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-eqg 17640  df-ghm 17705  df-ga 17769  df-od 17994  df-pgp 17996  df-slw 17997
This theorem is referenced by:  sylow3lem4  18091
  Copyright terms: Public domain W3C validator