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Theorem sylow3lem1 18242
Description: Lemma for sylow3 18248, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow3.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow3.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow3.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow3lem1.a + = (+g𝐺)
sylow3lem1.d = (-g𝐺)
sylow3lem1.m = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
Assertion
Ref Expression
sylow3lem1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, + ,𝑦,𝑧   𝑥,𝑃,𝑦,𝑧

Proof of Theorem sylow3lem1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 ovex 6841 . . 3 (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V
31, 2jctir 562 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V))
4 sylow3.xf . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow3.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
6 sylow3.x . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = (Base‘𝐺)
76fislw 18240 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
81, 4, 5, 7syl3anc 1477 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
98biimpa 502 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
109adantrl 754 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))))
1110simpld 477 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺))
12 simprl 811 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑥𝑋)
13 sylow3lem1.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
14 sylow3lem1.d . . . . . . . 8 = (-g𝐺)
15 eqid 2760 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))
166, 13, 14, 15conjsubg 17893 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
1711, 12, 16syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
186, 13, 14, 15conjsubgen 17894 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
1911, 12, 18syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
204adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑋 ∈ Fin)
216subgss 17796 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑦𝑋)
2211, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦𝑋)
23 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
2420, 22, 23syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → 𝑦 ∈ Fin)
256subgss 17796 . . . . . . . . . . 11 (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋)
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋)
27 ssfi 8345 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin)
2820, 26, 27syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin)
29 hashen 13329 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ Fin) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
3024, 28, 29syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
3119, 30mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))))
3210simprd 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘𝑦) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
3331, 32eqtr3d 2796 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
346fislw 18240 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
351, 4, 5, 34syl3anc 1477 . . . . . . 7 (𝜑 → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
3635adantr 472 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥))) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))))
3717, 33, 36mpbir2and 995 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
3837ralrimivva 3109 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
39 sylow3lem1.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)))
4039fmpt2 7405 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) ↔ :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
4138, 40sylib 208 . . 3 (𝜑 :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
421adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝐺 ∈ Grp)
43 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
446, 43grpidcl 17651 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
4542, 44syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
46 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
47 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
48 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (0g𝐺))
4948oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((0g𝐺) + 𝑧))
5049, 48oveq12d 6831 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)))
5147, 50mpteq12dv 4885 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
5251rneqd 5508 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
53 vex 3343 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
5453mptex 6650 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) ∈ V
5554rnex 7265 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) ∈ V
5652, 39, 55ovmpt2a 6956 . . . . . . 7 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
5745, 46, 56syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))))
581ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
59 slwsubg 18225 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺))
616subgss 17796 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝑎𝑋)
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → 𝑎𝑋)
6362sselda 3744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
646, 13, 43grplid 17653 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
6558, 63, 64syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
6665oveq1d 6828 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)) = (𝑧 (0g𝐺)))
676, 43, 14grpsubid1 17701 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 (0g𝐺)) = 𝑧)
6858, 63, 67syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑧 (0g𝐺)) = 𝑧)
6966, 68eqtrd 2794 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ 𝑧𝑎) → (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺)) = 𝑧)
7069mpteq2dva 4896 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = (𝑧𝑎𝑧))
71 mptresid 5614 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎𝑧) = ( I ↾ 𝑎)
7270, 71syl6eq 2810 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = ( I ↾ 𝑎))
7372rneqd 5508 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = ran ( I ↾ 𝑎))
74 rnresi 5637 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
7573, 74syl6eq 2810 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ran (𝑧𝑎 ↦ (((0g𝐺) + 𝑧) (0g𝐺))) = 𝑎)
7657, 75eqtrd 2794 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎)
77 ovex 6841 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) ∈ V
78 oveq2 6821 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) → (𝑏 + 𝑤) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
7978oveq1d 6828 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐) → ((𝑏 + 𝑤) 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
8077, 79abrexco 6665 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)}
81 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑐𝑋)
82 simplr 809 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
83 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
84 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑐)
8584oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑐 + 𝑧))
8685, 84oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐))
8783, 86mpteq12dv 4885 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
8887rneqd 5508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
8953mptex 6650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) ∈ V
9089rnex 7265 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) ∈ V
9188, 39, 90ovmpt2a 6956 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
9281, 82, 91syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
93 eqid 2760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐))
9493rnmpt 5526 . . . . . . . . . . . 12 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}
9592, 94syl6eq 2810 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)})
9695rexeqdv 3284 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏) ↔ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
9796abbidv 2879 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)}𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)})
9842adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
9998adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
100 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑏𝑋)
1016, 13grpcl 17631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑋𝑐𝑋) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
10298, 100, 81, 101syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
103102adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
10463adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
1056, 13grpcl 17631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑧𝑋) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
10699, 103, 104, 105syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋)
10781adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑐𝑋)
108100adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑏𝑋)
1096, 13, 14grpsubsub4 17709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ∈ 𝑋𝑐𝑋𝑏𝑋)) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
11099, 106, 107, 108, 109syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
1116, 13grpass 17632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
11299, 108, 107, 104, 111syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
113112oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) = ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐))
1146, 13grpcl 17631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑐𝑋𝑧𝑋) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
11599, 107, 104, 114syl3anc 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋)
1166, 13, 14grpaddsubass 17706 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋 ∧ (𝑐 + 𝑧) ∈ 𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
11799, 108, 115, 107, 116syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + (𝑐 + 𝑧)) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
118113, 117eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) = (𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)))
119118oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) 𝑐) 𝑏) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
120110, 119eqtr3d 2796 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏))
121120eqeq2d 2770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) ↔ 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)))
122121rexbidva 3187 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)) ↔ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)))
123122abbidv 2879 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + ((𝑐 + 𝑧) 𝑐)) 𝑏)})
12480, 97, 1233eqtr4a 2820 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))})
125 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
126125rnmpt 5526 . . . . . . . 8 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)}
127 eqid 2760 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) = (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
128127rnmpt 5526 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))}
129124, 126, 1283eqtr4g 2819 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
13041ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺))
131130, 81, 82fovrnd 6971 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
132 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑦 = (𝑐 𝑎))
133 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑥 = 𝑏)
134133oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
135134, 133oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = ((𝑏 + 𝑧) 𝑏))
136132, 135mpteq12dv 4885 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) 𝑏)))
137 oveq2 6821 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑤 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑤))
138137oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑏 + 𝑧) 𝑏) = ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
139138cbvmptv 4902 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑧) 𝑏)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏))
140136, 139syl6eq 2810 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
141140rneqd 5508 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
142 ovex 6841 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑎) ∈ V
143142mptex 6650 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) ∈ V
144143rnex 7265 . . . . . . . . 9 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)) ∈ V
145141, 39, 144ovmpt2a 6956 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑋 ∧ (𝑐 𝑎) ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
146100, 131, 145syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ ((𝑏 + 𝑤) 𝑏)))
147 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
148 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (𝑏 + 𝑐))
149148oveq1d 6828 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
150149, 148oveq12d 6831 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ((𝑥 + 𝑧) 𝑥) = (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐)))
151147, 150mpteq12dv 4885 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
152151rneqd 5508 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ ((𝑥 + 𝑧) 𝑥)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
15353mptex 6650 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
154153rnex 7265 . . . . . . . . 9 ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))) ∈ V
155152, 39, 154ovmpt2a 6956 . . . . . . . 8 (((𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
156102, 82, 155syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) (𝑏 + 𝑐))))
157129, 146, 1563eqtr4rd 2805 . . . . . 6 (((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
158157ralrimivva 3109 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
15976, 158jca 555 . . . 4 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)) → (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
160159ralrimiva 3104 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
16141, 160jca 555 . 2 (𝜑 → ( :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))))
1626, 13, 43isga 17924 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑃 pSyl 𝐺) ∈ V) ∧ ( :(𝑋 × (𝑃 pSyl 𝐺))⟶(𝑃 pSyl 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺)(((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))))
1633, 161, 162sylanbrc 701 1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct (𝑃 pSyl 𝐺)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  {cab 2746  wral 3050  wrex 3051  Vcvv 3340  wss 3715   class class class wbr 4804  cmpt 4881   I cid 5173   × cxp 5264  ran crn 5267  cres 5268  wf 6045  cfv 6049  (class class class)co 6813  cmpt2 6815  cen 8118  Fincfn 8121  cexp 13054  chash 13311  cprime 15587   pCnt cpc 15743  Basecbs 16059  +gcplusg 16143  0gc0g 16302  Grpcgrp 17623  -gcsg 17625  SubGrpcsubg 17789   GrpAct cga 17922   pSyl cslw 18147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-disj 4773  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-2o 7730  df-oadd 7733  df-omul 7734  df-er 7911  df-ec 7913  df-qs 7917  df-map 8025  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-inf 8514  df-oi 8580  df-card 8955  df-acn 8958  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-xnn0 11556  df-z 11570  df-uz 11880  df-q 11982  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-fl 12787  df-mod 12863  df-seq 12996  df-exp 13055  df-fac 13255  df-bc 13284  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183  df-gcd 15419  df-prm 15588  df-pc 15744  df-ndx 16062  df-slot 16063  df-base 16065  df-sets 16066  df-ress 16067  df-plusg 16156  df-0g 16304  df-mgm 17443  df-sgrp 17485  df-mnd 17496  df-submnd 17537  df-grp 17626  df-minusg 17627  df-sbg 17628  df-mulg 17742  df-subg 17792  df-eqg 17794  df-ghm 17859  df-ga 17923  df-od 18148  df-pgp 18150  df-slw 18151
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  18244  sylow3lem5  18246
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