Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2b 18245
 Description: Sylow's second theorem. Any 𝑃-group 𝐻 is a subgroup of a conjugated 𝑃-group 𝐾 of order 𝑃↑𝑛 ∥ (♯‘𝑋) with 𝑛 maximal. This is usually stated under the assumption that 𝐾 is a Sylow subgroup, but we use a slightly different definition, whose equivalence to this one requires this theorem. This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2b.xf (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2b.h (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.k (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
sylow2b.a + = (+g𝐺)
sylow2b.hp (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
sylow2b.kn (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
sylow2b.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
sylow2b (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑔,𝐺   𝑔,𝐾,𝑥   + ,𝑔,𝑥   𝜑,𝑔   𝑥,   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem sylow2b
Dummy variables 𝑠 𝑢 𝑣 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.x . 2 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow2b.xf . 2 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 sylow2b.h . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4 sylow2b.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 sylow2b.a . 2 + = (+g𝐺)
6 eqid 2771 . 2 (𝐺 ~QG 𝐾) = (𝐺 ~QG 𝐾)
7 oveq2 6804 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑧 → (𝑢 + 𝑠) = (𝑢 + 𝑧))
87cbvmptv 4885 . . . . 5 (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧))
9 oveq1 6803 . . . . . 6 (𝑢 = 𝑥 → (𝑢 + 𝑧) = (𝑥 + 𝑧))
109mpteq2dv 4880 . . . . 5 (𝑢 = 𝑥 → (𝑧𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑧)) = (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
118, 10syl5eq 2817 . . . 4 (𝑢 = 𝑥 → (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
1211rneqd 5490 . . 3 (𝑢 = 𝑥 → ran (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠)) = ran (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
13 mpteq1 4872 . . . 4 (𝑣 = 𝑦 → (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
1413rneqd 5490 . . 3 (𝑣 = 𝑦 → ran (𝑧𝑣 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
1512, 14cbvmpt2v 6886 . 2 (𝑢𝐻, 𝑣 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑠𝑣 ↦ (𝑢 + 𝑠))) = (𝑥𝐻, 𝑦 ∈ (𝑋 / (𝐺 ~QG 𝐾)) ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
16 sylow2b.hp . 2 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
17 sylow2b.kn . 2 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
18 sylow2b.d . 2 = (-g𝐺)
191, 2, 3, 4, 5, 6, 15, 16, 17, 18sylow2blem3 18244 1 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3723   class class class wbr 4787   ↦ cmpt 4864  ran crn 5251  ‘cfv 6030  (class class class)co 6796   ↦ cmpt2 6798   / cqs 7899  Fincfn 8113  ↑cexp 13067  ♯chash 13321   pCnt cpc 15748  Basecbs 16064   ↾s cress 16065  +gcplusg 16149  -gcsg 17632  SubGrpcsubg 17796   ~QG cqg 17798   pGrp cpgp 18153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219  ax-pre-sup 10220 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-disj 4756  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7900  df-ec 7902  df-qs 7906  df-map 8015  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8508  df-inf 8509  df-oi 8575  df-card 8969  df-acn 8972  df-cda 9196  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-div 10891  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-n0 11500  df-xnn0 11571  df-z 11585  df-uz 11894  df-q 11997  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-clim 14427  df-sum 14625  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-pc 15749  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-eqg 17801  df-ga 17930  df-od 18155  df-pgp 18157 This theorem is referenced by:  slwhash  18246  sylow2  18248
 Copyright terms: Public domain W3C validator