Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2a 18080
 Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If 𝐺 is a finite 𝑃-group that acts on the finite set 𝑌, then the set 𝑍 of all points of 𝑌 fixed by every element of 𝐺 has cardinality equivalent to the cardinality of 𝑌, mod 𝑃. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2a.m (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
sylow2a.p (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
sylow2a.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2a.y (𝜑𝑌 ∈ Fin)
sylow2a.z 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
sylow2a.r = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow2a (𝜑𝑃 ∥ ((#‘𝑌) − (#‘𝑍)))
Distinct variable groups:   ,   𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝐺,𝑥,𝑦   ,𝑔,,𝑢,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑢,𝑥,𝑦   𝜑,   𝑔,𝑌,,𝑢,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝑃(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔)   𝐺(𝑢,)   𝑍(𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow2a.m . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
3 sylow2a.p . . 3 (𝜑𝑃 pGrp 𝐺)
4 sylow2a.f . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow2a.y . . 3 (𝜑𝑌 ∈ Fin)
6 sylow2a.z . . 3 𝑍 = {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢}
7 sylow2a.r . . 3 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑌 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 18079 . 2 (𝜑𝑃 ∥ Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧))
9 inass 3856 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
10 disjdif 4073 . . . . . . . 8 (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1110ineq2i 3844 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ (𝒫 𝑍 ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))) = ((𝑌 / ) ∩ ∅)
12 in0 4001 . . . . . . 7 ((𝑌 / ) ∩ ∅) = ∅
139, 11, 123eqtri 2677 . . . . . 6 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅
1413a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∩ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = ∅)
15 inundif 4079 . . . . . . 7 (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) = (𝑌 / )
1615eqcomi 2660 . . . . . 6 (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍))
1716a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) = (((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∪ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)))
18 pwfi 8302 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
195, 18sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → 𝒫 𝑌 ∈ Fin)
207, 1gaorber 17787 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → Er 𝑌)
212, 20syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑌)
2221qsss 7851 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 / ) ⊆ 𝒫 𝑌)
2319, 22ssfid 8224 . . . . 5 (𝜑 → (𝑌 / ) ∈ Fin)
245adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑌 ∈ Fin)
2522sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑌)
2625elpwid 4203 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧𝑌)
2724, 26ssfid 8224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
28 hashcl 13185 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ Fin → (#‘𝑧) ∈ ℕ0)
2927, 28syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (#‘𝑧) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 11391 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (#‘𝑧) ∈ ℂ)
3114, 17, 23, 30fsumsplit 14515 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(#‘𝑧) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧)))
3221, 5qshash 14603 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑌) = Σ𝑧 ∈ (𝑌 / )(#‘𝑧))
33 inss1 3866 . . . . . . . 8 ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )
34 ssfi 8221 . . . . . . . 8 (((𝑌 / ) ∈ Fin ∧ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ (𝑌 / )) → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
3523, 33, 34sylancl 695 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
36 ax-1cn 10032 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
37 fsumconst 14566 . . . . . . 7 ((((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin ∧ 1 ∈ ℂ) → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
3835, 36, 37sylancl 695 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1 = ((#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
39 elin 3829 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ↔ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
40 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌 / ) = (𝑌 / )
41 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧𝑍))
42 selpw 4198 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧𝑍)
4341, 42syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] 𝑍𝑧 ∈ 𝒫 𝑍))
44 breq1 4688 . . . . . . . . . . . . . 14 ([𝑤] = 𝑧 → ([𝑤] ≈ 1𝑜𝑧 ≈ 1𝑜))
4543, 44imbi12d 333 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝑤] = 𝑧 → (([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1𝑜) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1𝑜)))
4621adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → Er 𝑌)
47 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤𝑌)
4846, 47erref 7807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 𝑤)
49 vex 3234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑤 ∈ V
5049, 49elec 7829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤 𝑤)
5148, 50sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑌) → 𝑤 ∈ [𝑤] )
52 ssel 3630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ([𝑤] 𝑍 → (𝑤 ∈ [𝑤] 𝑤𝑍))
5351, 52syl5com 31 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍𝑤𝑍))
541, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 18078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] = {𝑤})
5549ensn1 8061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑤} ≈ 1𝑜
5654, 55syl6eqbr 4724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ≈ 1𝑜)
5756ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1𝑜))
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑌) → (𝑤𝑍 → [𝑤] ≈ 1𝑜))
5953, 58syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑌) → ([𝑤] 𝑍 → [𝑤] ≈ 1𝑜))
6040, 45, 59ectocld 7857 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑌 / )) → (𝑧 ∈ 𝒫 𝑍𝑧 ≈ 1𝑜))
6160impr 648 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑧 ∈ (𝑌 / ) ∧ 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1𝑜)
6239, 61sylan2b 491 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ≈ 1𝑜)
63 en1b 8065 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ≈ 1𝑜𝑧 = { 𝑧})
6462, 63sylib 208 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 = { 𝑧})
6564fveq2d 6233 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (#‘𝑧) = (#‘{ 𝑧}))
66 vuniex 6996 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
67 hashsng 13197 . . . . . . . . 9 ( 𝑧 ∈ V → (#‘{ 𝑧}) = 1)
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (#‘{ 𝑧}) = 1
6965, 68syl6eq 2701 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (#‘𝑧) = 1)
7069sumeq2dv 14477 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)1)
71 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢𝑌 ∣ ∀𝑋 ( 𝑢) = 𝑢} ⊆ 𝑌
726, 71eqsstri 3668 . . . . . . . . . . 11 𝑍𝑌
73 ssfi 8221 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 ∈ Fin ∧ 𝑍𝑌) → 𝑍 ∈ Fin)
745, 72, 73sylancl 695 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ Fin)
75 hashcl 13185 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ Fin → (#‘𝑍) ∈ ℕ0)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (#‘𝑍) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11391 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑍) ∈ ℂ)
7877mulid1d 10095 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝑍) · 1) = (#‘𝑍))
796, 5rabexd 4846 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑍 ∈ V)
80 inss2 3867 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ 𝒫 𝑍
81 pwexg 4880 . . . . . . . . . . . 12 (𝑍 ∈ Fin → 𝒫 𝑍 ∈ V)
8274, 81syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 𝒫 𝑍 ∈ V)
83 ssexg 4837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ⊆ 𝒫 𝑍 ∧ 𝒫 𝑍 ∈ V) → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ V)
8480, 82, 83sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ V)
857relopabi 5278 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Rel
86 relssdmrn 5694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Rel ⊆ (dom × ran ))
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊆ (dom × ran )
88 erdm 7797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( Er 𝑌 → dom = 𝑌)
8921, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom = 𝑌)
9089, 5eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom ∈ Fin)
91 errn 7809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ( Er 𝑌 → ran = 𝑌)
9221, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ran = 𝑌)
9392, 5eqeltrd 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran ∈ Fin)
94 xpexg 7002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((dom ∈ Fin ∧ ran ∈ Fin) → (dom × ran ) ∈ V)
9590, 93, 94syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (dom × ran ) ∈ V)
96 ssexg 4837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ⊆ (dom × ran ) ∧ (dom × ran ) ∈ V) → ∈ V)
9787, 95, 96sylancr 696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 ∈ V)
9897adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑍) → ∈ V)
99 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑍)
10072, 99sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑤𝑍) → 𝑤𝑌)
101 ecelqsg 7845 . . . . . . . . . . . . . 14 (( ∈ V ∧ 𝑤𝑌) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
10298, 100, 101syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑤𝑍) → [𝑤] ∈ (𝑌 / ))
10354, 102eqeltrrd 2731 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ (𝑌 / ))
104 snelpwi 4942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤𝑍 → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
105104adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ 𝒫 𝑍)
106103, 105elind 3831 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑤𝑍) → {𝑤} ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
107106ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑤𝑍 → {𝑤} ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
108 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
10980, 108sseldi 3634 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑍)
110109elpwid 4203 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
11164, 110eqsstr3d 3673 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → { 𝑧} ⊆ 𝑍)
11266snss 4348 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑧𝑍 ↔ { 𝑧} ⊆ 𝑍)
113111, 112sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → 𝑧𝑍)
114113ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) → 𝑧𝑍))
115 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = 𝑧 → {𝑤} = { 𝑧})
116115eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = 𝑧 → (𝑧 = {𝑤} ↔ 𝑧 = { 𝑧}))
11764, 116syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
118117adantrl 752 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
119 unieq 4476 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = {𝑤} → 𝑧 = {𝑤})
12049unisn 4483 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑤} = 𝑤
121119, 120syl6req 2702 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = {𝑤} → 𝑤 = 𝑧)
122118, 121impbid1 215 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤}))
123122ex 449 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑤𝑍𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) → (𝑤 = 𝑧𝑧 = {𝑤})))
12479, 84, 107, 114, 123en3d 8034 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑍 ≈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍))
125 hashen 13175 . . . . . . . . . 10 ((𝑍 ∈ Fin ∧ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍) ∈ Fin) → ((#‘𝑍) = (#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) ↔ 𝑍 ≈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
12674, 35, 125syl2anc 694 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((#‘𝑍) = (#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) ↔ 𝑍 ≈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
127124, 126mpbird 247 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝑍) = (#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)))
128127oveq1d 6705 . . . . . . 7 (𝜑 → ((#‘𝑍) · 1) = ((#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
12978, 128eqtr3d 2687 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝑍) = ((#‘((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)) · 1))
13038, 70, 1293eqtr4rd 2696 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑍) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧))
131130oveq1d 6705 . . . 4 (𝜑 → ((#‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧)) = (Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∩ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧)))
13231, 32, 1313eqtr4rd 2696 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧)) = (#‘𝑌))
133 hashcl 13185 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Fin → (#‘𝑌) ∈ ℕ0)
1345, 133syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (#‘𝑌) ∈ ℕ0)
135134nn0cnd 11391 . . . 4 (𝜑 → (#‘𝑌) ∈ ℂ)
136 diffi 8233 . . . . . 6 ((𝑌 / ) ∈ Fin → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
13723, 136syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) ∈ Fin)
138 eldifi 3765 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍) → 𝑧 ∈ (𝑌 / ))
139138, 30sylan2 490 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)) → (#‘𝑧) ∈ ℂ)
140137, 139fsumcl 14508 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧) ∈ ℂ)
141135, 77, 140subaddd 10448 . . 3 (𝜑 → (((#‘𝑌) − (#‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧) ↔ ((#‘𝑍) + Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧)) = (#‘𝑌)))
142132, 141mpbird 247 . 2 (𝜑 → ((#‘𝑌) − (#‘𝑍)) = Σ𝑧 ∈ ((𝑌 / ) ∖ 𝒫 𝑍)(#‘𝑧))
1438, 142breqtrrd 4713 1 (𝜑𝑃 ∥ ((#‘𝑌) − (#‘𝑍)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  ∀wral 2941  ∃wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231   ∖ cdif 3604   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948  𝒫 cpw 4191  {csn 4210  {cpr 4212  ∪ cuni 4468   class class class wbr 4685  {copab 4745   × cxp 5141  dom cdm 5143  ran crn 5144  Rel wrel 5148  ‘cfv 5926  (class class class)co 6690  1𝑜c1o 7598   Er wer 7784  [cec 7785   / cqs 7786   ≈ cen 7994  Fincfn 7997  ℂcc 9972  1c1 9975   + caddc 9977   · cmul 9979   − cmin 10304  ℕ0cn0 11330  #chash 13157  Σcsu 14460   ∥ cdvds 15027  Basecbs 15904   GrpAct cga 17768   pGrp cpgp 17992 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-disj 4653  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-map 7901  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-mod 12709  df-seq 12842  df-exp 12901  df-fac 13101  df-bc 13130  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461  df-dvds 15028  df-gcd 15264  df-prm 15433  df-pc 15589  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-grp 17472  df-minusg 17473  df-sbg 17474  df-mulg 17588  df-subg 17638  df-eqg 17640  df-ga 17769  df-od 17994  df-pgp 17996 This theorem is referenced by:  sylow2blem3  18083  sylow3lem6  18093
 Copyright terms: Public domain W3C validator