MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2 18247
Description: Sylow's second theorem. See also sylow2b 18244 for the "hard" part of the proof. Any two Sylow 𝑃-subgroups are conjugate to one another, and hence the same size, namely 𝑃↑(𝑃 pCnt ∣ 𝑋 ∣ ) (see fislw 18246). This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow2.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow2.h (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.k (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
sylow2.a + = (+g𝐺)
sylow2.d = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
sylow2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑥,   𝑥,𝑔, +   𝑔,𝐺,𝑥   𝑔,𝐻,𝑥   𝑔,𝐾,𝑥   𝜑,𝑔   𝑔,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑃(𝑥,𝑔)   (𝑔)

Proof of Theorem sylow2
StepHypRef Expression
1 sylow2.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
21adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑋 ∈ Fin)
3 sylow2.k . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
4 slwsubg 18231 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
53, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
65adantr 466 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺))
7 simprl 746 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝑔𝑋)
8 sylow2.x . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
9 sylow2.a . . . . . . 7 + = (+g𝐺)
10 sylow2.d . . . . . . 7 = (-g𝐺)
11 eqid 2770 . . . . . . 7 (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) = (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))
128, 9, 10, 11conjsubg 17899 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
136, 7, 12syl2anc 565 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺))
148subgss 17802 . . . . 5 (ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ (SubGrp‘𝐺) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋)
16 ssfi 8335 . . . 4 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin)
172, 15, 16syl2anc 565 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin)
18 simprr 748 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
19 sylow2.h . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺))
208, 1, 19slwhash 18245 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
218, 1, 3slwhash 18245 . . . . . . 7 (𝜑 → (♯‘𝐾) = (𝑃↑(𝑃 pCnt (♯‘𝑋))))
2220, 21eqtr4d 2807 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (♯‘𝐾))
23 slwsubg 18231 . . . . . . . . . 10 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
2419, 23syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
258subgss 17802 . . . . . . . . 9 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻𝑋)
27 ssfi 8335 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
281, 26, 27syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
298subgss 17802 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐾𝑋)
305, 29syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾𝑋)
31 ssfi 8335 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐾𝑋) → 𝐾 ∈ Fin)
321, 30, 31syl2anc 565 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ Fin)
33 hashen 13338 . . . . . . 7 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐾 ∈ Fin) → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3428, 32, 33syl2anc 565 . . . . . 6 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (♯‘𝐾) ↔ 𝐻𝐾))
3522, 34mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐻𝐾)
3635adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻𝐾)
378, 9, 10, 11conjsubgen 17900 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ 𝑔𝑋) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
386, 7, 37syl2anc 565 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
39 entr 8160 . . . 4 ((𝐻𝐾𝐾 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
4036, 38, 39syl2anc 565 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
41 fisseneq 8326 . . 3 ((ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∈ Fin ∧ 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)) ∧ 𝐻 ≈ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
4217, 18, 40, 41syl3anc 1475 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑔𝑋𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))) → 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
43 eqid 2770 . . . . 5 (𝐺s 𝐻) = (𝐺s 𝐻)
4443slwpgp 18234 . . . 4 (𝐻 ∈ (𝑃 pSyl 𝐺) → 𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
4519, 44syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 pGrp (𝐺s 𝐻))
468, 1, 24, 5, 9, 45, 21, 10sylow2b 18244 . 2 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 ⊆ ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
4742, 46reximddv 3165 1 (𝜑 → ∃𝑔𝑋 𝐻 = ran (𝑥𝐾 ↦ ((𝑔 + 𝑥) 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wcel 2144  wrex 3061  wss 3721   class class class wbr 4784  cmpt 4861  ran crn 5250  cfv 6031  (class class class)co 6792  cen 8105  Fincfn 8108  cexp 13066  chash 13320   pCnt cpc 15747  Basecbs 16063  s cress 16064  +gcplusg 16148  -gcsg 17631  SubGrpcsubg 17795   pGrp cpgp 18152   pSyl cslw 18153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-inf2 8701  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214  ax-pre-sup 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-fal 1636  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-disj 4753  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-2o 7713  df-oadd 7716  df-omul 7717  df-er 7895  df-ec 7897  df-qs 7901  df-map 8010  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-sup 8503  df-inf 8504  df-oi 8570  df-card 8964  df-acn 8967  df-cda 9191  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-div 10886  df-nn 11222  df-2 11280  df-3 11281  df-n0 11494  df-xnn0 11565  df-z 11579  df-uz 11888  df-q 11991  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-fac 13264  df-bc 13293  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-clim 14426  df-sum 14624  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-pc 15748  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-ga 17929  df-od 18154  df-pgp 18156  df-slw 18157
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  18250  sylow3lem6  18253
  Copyright terms: Public domain W3C validator