Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem5 18209
 Description: Lemma for sylow1 18210. Using Lagrange's theorem and the orbit-stabilizer theorem, show that there is a subgroup with size exactly 𝑃↑𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
sylow1lem5.l (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Assertion
Ref Expression
sylow1lem5 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁   ,𝑠,𝑢,𝑧,𝑁,𝑥,𝑦   𝑔,𝑋,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,,𝑠)   𝐵()   + (𝑔,)   (,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,,𝑠)   𝑆(,𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem5
StepHypRef Expression
1 sylow1.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 sylow1.g . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
3 sylow1.f . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
4 sylow1.p . . . 4 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
5 sylow1.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . 4 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . 4 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
9 sylow1lem.m . . . 4 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow1lem2 18206 . . 3 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
11 sylow1lem4.b . . 3 (𝜑𝐵𝑆)
12 sylow1lem4.h . . . 4 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
131, 12gastacl 17934 . . 3 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
1410, 11, 13syl2anc 696 . 2 (𝜑𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
15 sylow1lem3.1 . . . 4 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15, 11, 12sylow1lem4 18208 . . 3 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
17 sylow1lem5.l . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1815, 1gaorber 17933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
1910, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 Er 𝑆)
20 erdm 7913 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → dom = 𝑆)
2211, 21eleqtrrd 2834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐵 ∈ dom )
23 ecdmn0 7948 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ dom ↔ [𝐵] ≠ ∅)
2422, 23sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → [𝐵] ≠ ∅)
25 pwfi 8418 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
263, 25sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
27 ssrab2 3820 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)} ⊆ 𝒫 𝑋
288, 27eqsstri 3768 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
29 ssfi 8337 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
3026, 28, 29sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
3119ecss 7947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → [𝐵] 𝑆)
32 ssfi 8337 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ Fin ∧ [𝐵] 𝑆) → [𝐵] ∈ Fin)
3330, 31, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → [𝐵] ∈ Fin)
34 hashnncl 13341 . . . . . . . . . . . . 13 ([𝐵] ∈ Fin → ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ ↔ [𝐵] ≠ ∅))
3624, 35mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ∈ ℕ)
374, 36pccld 15749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℕ0)
3837nn0red 11536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℝ)
395nn0red 11536 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
401grpbn0 17644 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
412, 40syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
42 hashnncl 13341 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
433, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
4441, 43mpbird 247 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
454, 44pccld 15749 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
4645nn0red 11536 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ)
47 leaddsub 10688 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℝ) → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
4838, 39, 46, 47syl3anc 1473 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
4917, 48mpbird 247 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)))
50 eqid 2752 . . . . . . . . . . 11 (𝐺 ~QG 𝐻) = (𝐺 ~QG 𝐻)
511, 12, 50, 15orbsta2 17939 . . . . . . . . . 10 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ∧ 𝐵𝑆) ∧ 𝑋 ∈ Fin) → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻)))
5210, 11, 3, 51syl21anc 1472 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝑋) = ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻)))
5352oveq2d 6821 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))))
5436nnzd 11665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ∈ ℤ)
5536nnne0d 11249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘[𝐵] ) ≠ 0)
56 eqid 2752 . . . . . . . . . . . . . 14 (0g𝐺) = (0g𝐺)
5756subg0cl 17795 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
5814, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ 𝐻)
59 ne0i 4056 . . . . . . . . . . . 12 ((0g𝐺) ∈ 𝐻𝐻 ≠ ∅)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐻 ≠ ∅)
61 ssrab2 3820 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵} ⊆ 𝑋
6212, 61eqsstri 3768 . . . . . . . . . . . . 13 𝐻𝑋
63 ssfi 8337 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
643, 62, 63sylancl 697 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
65 hashnncl 13341 . . . . . . . . . . . 12 (𝐻 ∈ Fin → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((♯‘𝐻) ∈ ℕ ↔ 𝐻 ≠ ∅))
6760, 66mpbird 247 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ)
6867nnzd 11665 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℤ)
6967nnne0d 11249 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (♯‘𝐻) ≠ 0)
70 pcmul 15750 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ ((♯‘[𝐵] ) ∈ ℤ ∧ (♯‘[𝐵] ) ≠ 0) ∧ ((♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ≠ 0)) → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
714, 54, 55, 68, 69, 70syl122anc 1482 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt ((♯‘[𝐵] ) · (♯‘𝐻))) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
7253, 71eqtrd 2786 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) = ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
7349, 72breqtrd 4822 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻))))
744, 67pccld 15749 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℕ0)
7574nn0red 11536 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ∈ ℝ)
7639, 75, 38leadd2d 10806 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + 𝑁) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘[𝐵] )) + (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))))
7773, 76mpbird 247 . . . . 5 (𝜑𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)))
78 pcdvdsb 15767 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
794, 68, 5, 78syl3anc 1473 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝐻)) ↔ (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻)))
8077, 79mpbid 222 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻))
81 prmnn 15582 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
824, 81syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
8382, 5nnexpcld 13216 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
8483nnzd 11665 . . . . 5 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℤ)
85 dvdsle 15226 . . . . 5 (((𝑃𝑁) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐻) ∈ ℕ) → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
8684, 67, 85syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝐻) → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻)))
8780, 86mpd 15 . . 3 (𝜑 → (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻))
88 hashcl 13331 . . . . . 6 (𝐻 ∈ Fin → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
8964, 88syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℕ0)
9089nn0red 11536 . . . 4 (𝜑 → (♯‘𝐻) ∈ ℝ)
9183nnred 11219 . . . 4 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℝ)
9290, 91letri3d 10363 . . 3 (𝜑 → ((♯‘𝐻) = (𝑃𝑁) ↔ ((♯‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁) ∧ (𝑃𝑁) ≤ (♯‘𝐻))))
9316, 87, 92mpbir2and 995 . 2 (𝜑 → (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁))
94 fveq2 6344 . . . 4 ( = 𝐻 → (♯‘) = (♯‘𝐻))
9594eqeq1d 2754 . . 3 ( = 𝐻 → ((♯‘) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁)))
9695rspcev 3441 . 2 ((𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) ∧ (♯‘𝐻) = (𝑃𝑁)) → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
9714, 93, 96syl2anc 696 1 (𝜑 → ∃ ∈ (SubGrp‘𝐺)(♯‘) = (𝑃𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1624   ∈ wcel 2131   ≠ wne 2924  ∃wrex 3043  {crab 3046   ⊆ wss 3707  ∅c0 4050  𝒫 cpw 4294  {cpr 4315   class class class wbr 4796  {copab 4856   ↦ cmpt 4873  dom cdm 5258  ran crn 5259  ‘cfv 6041  (class class class)co 6805   ↦ cmpt2 6807   Er wer 7900  [cec 7901  Fincfn 8113  ℝcr 10119  0cc0 10120   + caddc 10123   · cmul 10125   ≤ cle 10259   − cmin 10450  ℕcn 11204  ℕ0cn0 11476  ℤcz 11561  ↑cexp 13046  ♯chash 13303   ∥ cdvds 15174  ℙcprime 15579   pCnt cpc 15735  Basecbs 16051  +gcplusg 16135  0gc0g 16294  Grpcgrp 17615  SubGrpcsubg 17781   ~QG cqg 17783   GrpAct cga 17914 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-rep 4915  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-inf2 8703  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-int 4620  df-iun 4666  df-disj 4765  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-se 5218  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-isom 6050  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-1o 7721  df-2o 7722  df-oadd 7725  df-er 7903  df-ec 7905  df-qs 7909  df-map 8017  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-sup 8505  df-inf 8506  df-oi 8572  df-card 8947  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869  df-nn 11205  df-2 11263  df-3 11264  df-n0 11477  df-xnn0 11548  df-z 11562  df-uz 11872  df-q 11974  df-rp 12018  df-fz 12512  df-fzo 12652  df-fl 12779  df-mod 12855  df-seq 12988  df-exp 13047  df-hash 13304  df-cj 14030  df-re 14031  df-im 14032  df-sqrt 14166  df-abs 14167  df-clim 14410  df-sum 14608  df-dvds 15175  df-gcd 15411  df-prm 15580  df-pc 15736  df-ndx 16054  df-slot 16055  df-base 16057  df-sets 16058  df-ress 16059  df-plusg 16148  df-0g 16296  df-mgm 17435  df-sgrp 17477  df-mnd 17488  df-grp 17618  df-minusg 17619  df-subg 17784  df-eqg 17786  df-ga 17915 This theorem is referenced by:  sylow1  18210
 Copyright terms: Public domain W3C validator