MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem4 18062
Description: Lemma for sylow1 18064. The stabilizer subgroup of any element of 𝑆 is at most 𝑃𝑁 in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (#‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
sylow1lem4.b (𝜑𝐵𝑆)
sylow1lem4.h 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐵   𝑔,𝐻,𝑥,𝑦   𝑆,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑁,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑧,   ,𝑔,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑢,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐻(𝑧,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑆)
2 fveq2 6229 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝐵 → (#‘𝑠) = (#‘𝐵))
32eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝐵 → ((#‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (#‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (#‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
53, 4elrab2 3399 . . . . . . . . . 10 (𝐵𝑆 ↔ (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (#‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
61, 5sylib 208 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (#‘𝐵) = (𝑃𝑁)))
76simprd 478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (#‘𝐵) = (𝑃𝑁))
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
9 prmnn 15435 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
108, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
11 sylow1.n . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1210, 11nnexpcld 13070 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∈ ℕ)
137, 12eqeltrd 2730 . . . . . . 7 (𝜑 → (#‘𝐵) ∈ ℕ)
1413nnne0d 11103 . . . . . 6 (𝜑 → (#‘𝐵) ≠ 0)
15 hasheq0 13192 . . . . . . . 8 (𝐵𝑆 → ((#‘𝐵) = 0 ↔ 𝐵 = ∅))
1615necon3bid 2867 . . . . . . 7 (𝐵𝑆 → ((#‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
171, 16syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((#‘𝐵) ≠ 0 ↔ 𝐵 ≠ ∅))
1814, 17mpbid 222 . . . . 5 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
19 n0 3964 . . . . 5 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑎 𝑎𝐵)
2018, 19sylib 208 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 𝑎𝐵)
211adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐵𝑆)
22 simplr 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑎𝐵)
23 oveq2 6698 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑎 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑎))
24 eqid 2651 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))
25 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑎) ∈ V
2623, 24, 25fvmpt 6321 . . . . . . . . . . 11 (𝑎𝐵 → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
2722, 26syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) = (𝑏 + 𝑎))
28 ovex 6718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 + 𝑧) ∈ V
2928, 24fnmpti 6060 . . . . . . . . . . 11 (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵
30 fnfvelrn 6396 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) Fn 𝐵𝑎𝐵) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3129, 22, 30sylancr 696 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧))‘𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
3227, 31eqeltrrd 2731 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵}
34 ssrab2 3720 . . . . . . . . . . . 12 {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐵) = 𝐵} ⊆ 𝑋
3533, 34eqsstri 3668 . . . . . . . . . . 11 𝐻𝑋
36 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝐻)
3735, 36sseldi 3634 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝑏𝑋)
381ad2antrr 762 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → 𝐵𝑆)
39 mptexg 6525 . . . . . . . . . . 11 (𝐵𝑆 → (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
40 rnexg 7140 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
4138, 39, 403syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V)
42 simpr 476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑦 = 𝐵)
43 simpl 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → 𝑥 = 𝑏)
4443oveq1d 6705 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
4542, 44mpteq12dv 4766 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4645rneqd 5385 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = 𝐵) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
4846, 47ovmpt2ga 6832 . . . . . . . . . 10 ((𝑏𝑋𝐵𝑆 ∧ ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)) ∈ V) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
4937, 38, 41, 48syl3anc 1366 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = ran (𝑧𝐵 ↦ (𝑏 + 𝑧)))
5032, 49eleqtrrd 2733 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ (𝑏 𝐵))
51 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑏 → (𝑢 𝐵) = (𝑏 𝐵))
5251eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑏 → ((𝑢 𝐵) = 𝐵 ↔ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5352, 33elrab2 3399 . . . . . . . . . 10 (𝑏𝐻 ↔ (𝑏𝑋 ∧ (𝑏 𝐵) = 𝐵))
5453simprbi 479 . . . . . . . . 9 (𝑏𝐻 → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5554adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 𝐵) = 𝐵)
5650, 55eleqtrd 2732 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ 𝑏𝐻) → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵)
5756ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝑏𝐻 → (𝑏 + 𝑎) ∈ 𝐵))
58 sylow1.g . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
5958ad2antrr 762 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝐺 ∈ Grp)
60 simprl 809 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝐻)
6135, 60sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑏𝑋)
62 simprr 811 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝐻)
6335, 62sseldi 3634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑐𝑋)
646simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ 𝒫 𝑋)
6564elpwid 4203 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵𝑋)
6665sselda 3636 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝑎𝑋)
6766adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → 𝑎𝑋)
68 sylow1.x . . . . . . . . 9 𝑋 = (Base‘𝐺)
69 sylow1lem.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝐺)
7068, 69grprcan 17502 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑎𝑋)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7159, 61, 63, 67, 70syl13anc 1368 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝐵) ∧ (𝑏𝐻𝑐𝐻)) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐))
7271ex 449 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝐵) → ((𝑏𝐻𝑐𝐻) → ((𝑏 + 𝑎) = (𝑐 + 𝑎) ↔ 𝑏 = 𝑐)))
7357, 72dom2d 8038 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝐵) → (𝐵𝑆𝐻𝐵))
7421, 73mpd 15 . . . 4 ((𝜑𝑎𝐵) → 𝐻𝐵)
7520, 74exlimddv 1903 . . 3 (𝜑𝐻𝐵)
76 sylow1.f . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
77 ssfi 8221 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐻𝑋) → 𝐻 ∈ Fin)
7876, 35, 77sylancl 695 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ Fin)
79 ssfi 8221 . . . . 5 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝐵𝑋) → 𝐵 ∈ Fin)
8076, 65, 79syl2anc 694 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ Fin)
81 hashdom 13206 . . . 4 ((𝐻 ∈ Fin ∧ 𝐵 ∈ Fin) → ((#‘𝐻) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8278, 80, 81syl2anc 694 . . 3 (𝜑 → ((#‘𝐻) ≤ (#‘𝐵) ↔ 𝐻𝐵))
8375, 82mpbird 247 . 2 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (#‘𝐵))
8483, 7breqtrd 4711 1 (𝜑 → (#‘𝐻) ≤ (𝑃𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  {crab 2945  Vcvv 3231  wss 3607  c0 3948  𝒫 cpw 4191  {cpr 4212   class class class wbr 4685  {copab 4745  cmpt 4762  ran crn 5144   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  cmpt2 6692  cdom 7995  Fincfn 7997  0cc0 9974  cle 10113  cn 11058  0cn0 11330  cexp 12900  #chash 13157  cdvds 15027  cprime 15432  Basecbs 15904  +gcplusg 15988  Grpcgrp 17469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-xnn0 11402  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-prm 15433  df-0g 16149  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-grp 17472
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  18063
  Copyright terms: Public domain W3C validator