MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem3 18242
Description: Lemma for sylow1 18245. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
sylow1lem3.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Distinct variable groups:   𝑔,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝑤   𝑆,𝑔   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,𝑆   𝑔,𝑁   𝑤,𝑠,𝑁,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝑋,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤, ,𝑧   ,𝑔,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑔,𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑔,𝑠,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑤,𝑔,𝑠)   + (𝑔)   (𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑔,𝑠)   𝑆(𝑠)   𝐺(𝑤)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
2 sylow1.x . . . . . . . 8 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 sylow1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
4 sylow1.f . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
5 sylow1.n . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
6 sylow1.d . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 18240 . . . . . . 7 (𝜑 → ((♯‘𝑆) ∈ ℕ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
109simpld 483 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) ∈ ℕ)
11 pcndvds 15797 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑆) ∈ ℕ) → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
121, 10, 11syl2anc 574 . . . . 5 (𝜑 → ¬ (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆))
139simprd 484 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) = ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
1413oveq1d 6827 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1) = (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1))
1514oveq2d 6828 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) = (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)))
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 18241 . . . . . . . 8 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝑆 ∧ ∃𝑔𝑋 (𝑔 𝑥) = 𝑦)}
1918, 2gaorber 17968 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) → Er 𝑆)
2017, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 Er 𝑆)
21 pwfi 8438 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
224, 21sylib 209 . . . . . . . 8 (𝜑 → 𝒫 𝑋 ∈ Fin)
23 ssrab2 3843 . . . . . . . . 9 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)} ⊆ 𝒫 𝑋
248, 23eqsstri 3791 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
25 ssfi 8357 . . . . . . . 8 ((𝒫 𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋) → 𝑆 ∈ Fin)
2622, 24, 25sylancl 575 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Fin)
2720, 26qshash 14788 . . . . . 6 (𝜑 → (♯‘𝑆) = Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
2815, 27breq12d 4810 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑃↑((𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) + 1)) ∥ (♯‘𝑆) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧)))
2912, 28mtbid 314 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
30 pwfi 8438 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ Fin ↔ 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3126, 30sylib 209 . . . . . . 7 (𝜑 → 𝒫 𝑆 ∈ Fin)
3220qsss 7981 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 / ) ⊆ 𝒫 𝑆)
33 ssfi 8357 . . . . . . 7 ((𝒫 𝑆 ∈ Fin ∧ (𝑆 / ) ⊆ 𝒫 𝑆) → (𝑆 / ) ∈ Fin)
3431, 32, 33syl2anc 574 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 / ) ∈ Fin)
3534adantr 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑆 / ) ∈ Fin)
36 prmnn 15616 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
371, 36syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
381, 10pccld 15782 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑆)) ∈ ℕ0)
3913, 38eqeltrrd 2854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0)
40 peano2nn0 11557 . . . . . . . . 9 (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℕ0 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4139, 40syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
4237, 41nnexpcld 13259 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℕ)
4342nnzd 11705 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
4443adantr 467 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∈ ℤ)
45 erdm 7927 . . . . . . . . . 10 ( Er 𝑆 → dom = 𝑆)
4620, 45syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom = 𝑆)
47 elqsn0 7989 . . . . . . . . 9 ((dom = 𝑆𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4846, 47sylan 570 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ≠ ∅)
4926adantr 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑆 ∈ Fin)
5032sselda 3758 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝑆)
5150elpwid 4319 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧𝑆)
52 ssfi 8357 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ Fin ∧ 𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ Fin)
5349, 51, 52syl2anc 574 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑧 ∈ Fin)
54 hashnncl 13381 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ Fin → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5553, 54syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((♯‘𝑧) ∈ ℕ ↔ 𝑧 ≠ ∅))
5648, 55mpbird 248 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5756adantlr 695 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℕ)
5857nnzd 11705 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (♯‘𝑧) ∈ ℤ)
59 fveq2 6348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑧 → (♯‘𝑎) = (♯‘𝑧))
6059oveq2d 6828 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
6160breq1d 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
6261notbid 308 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = 𝑧 → (¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
6362rspccva 3464 . . . . . . . . 9 ((∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
6463adantll 694 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
652grpbn0 17679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐺 ∈ Grp → 𝑋 ≠ ∅)
663, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
67 hashnncl 13381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ Fin → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
684, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((♯‘𝑋) ∈ ℕ ↔ 𝑋 ≠ ∅))
6966, 68mpbird 248 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (♯‘𝑋) ∈ ℕ)
701, 69pccld 15782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℕ0)
7170nn0zd 11704 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) ∈ ℤ)
725nn0zd 11704 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
7371, 72zsubcld 11711 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7473ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ)
7574zred 11706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℝ)
761ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → 𝑃 ∈ ℙ)
7776, 57pccld 15782 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℕ0)
7877nn0zd 11704 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ)
7978zred 11706 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℝ)
8075, 79ltnled 10407 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
8164, 80mpbird 248 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
82 zltp1le 11651 . . . . . . . 8 ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ∈ ℤ) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8374, 78, 82syl2anc 574 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) < (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧))))
8481, 83mpbid 223 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)))
8541ad2antrr 706 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0)
86 pcdvdsb 15800 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (♯‘𝑧) ∈ ℤ ∧ (((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ∈ ℕ0) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8776, 58, 85, 86syl3anc 1480 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → ((((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1) ≤ (𝑃 pCnt (♯‘𝑧)) ↔ (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧)))
8884, 87mpbid 223 . . . . 5 (((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 / )) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ (♯‘𝑧))
8935, 44, 58, 88fsumdvds 15261 . . . 4 ((𝜑 ∧ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → (𝑃↑(((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) + 1)) ∥ Σ𝑧 ∈ (𝑆 / )(♯‘𝑧))
9029, 89mtand 839 . . 3 (𝜑 → ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
91 dfrex2 3147 . . 3 (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ ¬ ∀𝑎 ∈ (𝑆 / ) ¬ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
9290, 91sylibr 225 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
93 eqid 2774 . . . 4 (𝑆 / ) = (𝑆 / )
94 fveq2 6348 . . . . . . 7 ([𝑧] = 𝑎 → (♯‘[𝑧] ) = (♯‘𝑎))
9594oveq2d 6828 . . . . . 6 ([𝑧] = 𝑎 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) = (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)))
9695breq1d 4807 . . . . 5 ([𝑧] = 𝑎 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
9796imbi1d 331 . . . 4 ([𝑧] = 𝑎 → (((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) ↔ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))))
98 eceq1 7955 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = 𝑧 → [𝑤] = [𝑧] )
9998fveq2d 6352 . . . . . . . . 9 (𝑤 = 𝑧 → (♯‘[𝑤] ) = (♯‘[𝑧] ))
10099oveq2d 6828 . . . . . . . 8 (𝑤 = 𝑧 → (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) = (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )))
101100breq1d 4807 . . . . . . 7 (𝑤 = 𝑧 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) ↔ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
102101rspcev 3465 . . . . . 6 ((𝑧𝑆 ∧ (𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
103102ex 398 . . . . 5 (𝑧𝑆 → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
104103adantl 468 . . . 4 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑃 pCnt (♯‘[𝑧] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10593, 97, 104ectocld 7987 . . 3 ((𝜑𝑎 ∈ (𝑆 / )) → ((𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
106105rexlimdva 3183 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ (𝑆 / )(𝑃 pCnt (♯‘𝑎)) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁) → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁)))
10792, 106mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑤𝑆 (𝑃 pCnt (♯‘[𝑤] )) ≤ ((𝑃 pCnt (♯‘𝑋)) − 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 383   = wceq 1634  wcel 2148  wne 2946  wral 3064  wrex 3065  {crab 3068  wss 3729  c0 4073  𝒫 cpw 4307  {cpr 4328   class class class wbr 4797  {copab 4859  cmpt 4876  dom cdm 5263  ran crn 5264  cfv 6042  (class class class)co 6812  cmpt2 6814   Er wer 7914  [cec 7915   / cqs 7916  Fincfn 8130  1c1 10160   + caddc 10162   < clt 10297  cle 10298  cmin 10489  cn 11243  0cn0 11516  cz 11601  cexp 13089  chash 13343  Σcsu 14646  cdvds 15211  cprime 15613   pCnt cpc 15768  Basecbs 16084  +gcplusg 16169  Grpcgrp 17650   GrpAct cga 17949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1873  ax-4 1888  ax-5 1994  ax-6 2060  ax-7 2096  ax-8 2150  ax-9 2157  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2206  ax-13 2411  ax-ext 2754  ax-rep 4917  ax-sep 4928  ax-nul 4936  ax-pow 4988  ax-pr 5048  ax-un 7117  ax-inf2 8723  ax-cnex 10215  ax-resscn 10216  ax-1cn 10217  ax-icn 10218  ax-addcl 10219  ax-addrcl 10220  ax-mulcl 10221  ax-mulrcl 10222  ax-mulcom 10223  ax-addass 10224  ax-mulass 10225  ax-distr 10226  ax-i2m1 10227  ax-1ne0 10228  ax-1rid 10229  ax-rnegex 10230  ax-rrecex 10231  ax-cnre 10232  ax-pre-lttri 10233  ax-pre-lttrn 10234  ax-pre-ltadd 10235  ax-pre-mulgt0 10236  ax-pre-sup 10237
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 384  df-or 864  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1637  df-fal 1640  df-ex 1856  df-nf 1861  df-sb 2053  df-eu 2625  df-mo 2626  df-clab 2761  df-cleq 2767  df-clel 2770  df-nfc 2905  df-ne 2947  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3357  df-sbc 3594  df-csb 3689  df-dif 3732  df-un 3734  df-in 3736  df-ss 3743  df-pss 3745  df-nul 4074  df-if 4236  df-pw 4309  df-sn 4327  df-pr 4329  df-tp 4331  df-op 4333  df-uni 4586  df-int 4623  df-iun 4667  df-disj 4766  df-br 4798  df-opab 4860  df-mpt 4877  df-tr 4900  df-id 5171  df-eprel 5176  df-po 5184  df-so 5185  df-fr 5222  df-se 5223  df-we 5224  df-xp 5269  df-rel 5270  df-cnv 5271  df-co 5272  df-dm 5273  df-rn 5274  df-res 5275  df-ima 5276  df-pred 5834  df-ord 5880  df-on 5881  df-lim 5882  df-suc 5883  df-iota 6005  df-fun 6044  df-fn 6045  df-f 6046  df-f1 6047  df-fo 6048  df-f1o 6049  df-fv 6050  df-isom 6051  df-riota 6773  df-ov 6815  df-oprab 6816  df-mpt2 6817  df-om 7234  df-1st 7336  df-2nd 7337  df-wrecs 7580  df-recs 7642  df-rdg 7680  df-1o 7734  df-2o 7735  df-oadd 7738  df-er 7917  df-ec 7919  df-qs 7923  df-map 8032  df-en 8131  df-dom 8132  df-sdom 8133  df-fin 8134  df-sup 8525  df-inf 8526  df-oi 8592  df-card 8986  df-cda 9213  df-pnf 10299  df-mnf 10300  df-xr 10301  df-ltxr 10302  df-le 10303  df-sub 10491  df-neg 10492  df-div 10908  df-nn 11244  df-2 11302  df-3 11303  df-n0 11517  df-z 11602  df-uz 11911  df-q 12014  df-rp 12053  df-fz 12556  df-fzo 12696  df-fl 12823  df-mod 12899  df-seq 13031  df-exp 13090  df-fac 13287  df-bc 13316  df-hash 13344  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-clim 14449  df-sum 14647  df-dvds 15212  df-gcd 15446  df-prm 15614  df-pc 15769  df-0g 16330  df-mgm 17470  df-sgrp 17512  df-mnd 17523  df-grp 17653  df-minusg 17654  df-ga 17950
This theorem is referenced by:  sylow1  18245
  Copyright terms: Public domain W3C validator