Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow1lem2 18212
 Description: Lemma for sylow1 18216. The function ⊕ is a group action on 𝑆. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x 𝑋 = (Base‘𝐺)
sylow1.g (𝜑𝐺 ∈ Grp)
sylow1.f (𝜑𝑋 ∈ Fin)
sylow1.p (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
sylow1.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
sylow1.d (𝜑 → (𝑃𝑁) ∥ (♯‘𝑋))
sylow1lem.a + = (+g𝐺)
sylow1lem.s 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
sylow1lem.m = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
Assertion
Ref Expression
sylow1lem2 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝑁,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   + ,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥, ,𝑦,𝑧   𝐺,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝑃,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑠)   (𝑠)   𝑆(𝑠)

Proof of Theorem sylow1lem2
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑢 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
2 sylow1lem.s . . . 4 𝑆 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)}
3 sylow1.x . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 fvex 6360 . . . . . 6 (Base‘𝐺) ∈ V
53, 4eqeltri 2833 . . . . 5 𝑋 ∈ V
65pwex 4995 . . . 4 𝒫 𝑋 ∈ V
72, 6rabex2 4964 . . 3 𝑆 ∈ V
81, 7jctir 562 . 2 (𝜑 → (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ V))
9 simprl 811 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → 𝑥𝑋)
10 sylow1lem.a . . . . . . . . . . . . 13 + = (+g𝐺)
11 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧))
123, 10, 11grplmulf1o 17688 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥𝑋) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋)
131, 9, 12syl2an2r 911 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋)
14 f1of1 6295 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑋1-1-onto𝑋 → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑋1-1𝑋)
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑋1-1𝑋)
16 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → 𝑦𝑆)
17 fveq2 6350 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 = 𝑦 → (♯‘𝑠) = (♯‘𝑦))
1817eqeq1d 2760 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠 = 𝑦 → ((♯‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘𝑦) = (𝑃𝑁)))
1918, 2elrab2 3505 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃𝑁)))
2016, 19sylib 208 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (𝑦 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘𝑦) = (𝑃𝑁)))
2120simpld 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝑋)
2221elpwid 4312 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → 𝑦𝑋)
23 f1ssres 6267 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑋1-1𝑋𝑦𝑋) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ↾ 𝑦):𝑦1-1𝑋)
2415, 22, 23syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ↾ 𝑦):𝑦1-1𝑋)
25 resmpt 5605 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝑋 → ((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
26 f1eq1 6255 . . . . . . . . . 10 (((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ↾ 𝑦) = (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) → (((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ↾ 𝑦):𝑦1-1𝑋 ↔ (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1𝑋))
2722, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (((𝑧𝑋 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ↾ 𝑦):𝑦1-1𝑋 ↔ (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1𝑋))
2824, 27mpbid 222 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1𝑋)
29 f1f 6260 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1𝑋 → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦𝑋)
30 frn 6212 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦𝑋 → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝑋)
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝑋)
325elpw2 4975 . . . . . . 7 (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝒫 𝑋 ↔ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝑋)
3331, 32sylibr 224 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝒫 𝑋)
34 f1f1orn 6307 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1𝑋 → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1-onto→ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
35 vex 3341 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
3635f1oen 8140 . . . . . . . . 9 ((𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)):𝑦1-1-onto→ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
3728, 34, 363syl 18 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
38 sylow1.f . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
39 ssfi 8343 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ 𝑦𝑋) → 𝑦 ∈ Fin)
4038, 22, 39syl2an2r 911 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → 𝑦 ∈ Fin)
41 ssfi 8343 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ Fin ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ⊆ 𝑋) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ Fin)
4238, 31, 41syl2an2r 911 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ Fin)
43 hashen 13327 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ Fin ∧ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ Fin) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))))
4440, 42, 43syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → ((♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))) ↔ 𝑦 ≈ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))))
4537, 44mpbird 247 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (♯‘𝑦) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))))
4620simprd 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (♯‘𝑦) = (𝑃𝑁))
4745, 46eqtr3d 2794 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))) = (𝑃𝑁))
48 fveq2 6350 . . . . . . . 8 (𝑠 = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) → (♯‘𝑠) = (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))))
4948eqeq1d 2760 . . . . . . 7 (𝑠 = ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) → ((♯‘𝑠) = (𝑃𝑁) ↔ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))) = (𝑃𝑁)))
5049, 2elrab2 3505 . . . . . 6 (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ (ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝒫 𝑋 ∧ (♯‘ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧))) = (𝑃𝑁)))
5133, 47, 50sylanbrc 701 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑦𝑆)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝑆)
5251ralrimivva 3107 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑥𝑋𝑦𝑆 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝑆)
53 sylow1lem.m . . . . 5 = (𝑥𝑋, 𝑦𝑆 ↦ ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)))
5453fmpt2 7403 . . . 4 (∀𝑥𝑋𝑦𝑆 ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) ∈ 𝑆 :(𝑋 × 𝑆)⟶𝑆)
5552, 54sylib 208 . . 3 (𝜑 :(𝑋 × 𝑆)⟶𝑆)
561adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝐺 ∈ Grp)
57 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (0g𝐺) = (0g𝐺)
583, 57grpidcl 17649 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
5956, 58syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
60 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝑆)
61 simpr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
62 simpl 474 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (0g𝐺))
6362oveq1d 6826 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((0g𝐺) + 𝑧))
6461, 63mpteq12dv 4883 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)))
6564rneqd 5506 . . . . . . . 8 ((𝑥 = (0g𝐺) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)))
66 vex 3341 . . . . . . . . . 10 𝑎 ∈ V
6766mptex 6648 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)) ∈ V
6867rnex 7263 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)) ∈ V
6965, 53, 68ovmpt2a 6954 . . . . . . 7 (((0g𝐺) ∈ 𝑋𝑎𝑆) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)))
7059, 60, 69syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ((0g𝐺) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)))
71 ssrab2 3826 . . . . . . . . . . . . . . 15 {𝑠 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ (♯‘𝑠) = (𝑃𝑁)} ⊆ 𝒫 𝑋
722, 71eqsstri 3774 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ⊆ 𝒫 𝑋
7372, 60sseldi 3740 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎 ∈ 𝒫 𝑋)
7473elpwid 4312 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝑆) → 𝑎𝑋)
7574sselda 3742 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
763, 10, 57grplid 17651 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
7756, 75, 76syl2an2r 911 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑧𝑎) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
7877mpteq2dva 4894 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)) = (𝑧𝑎𝑧))
79 mptresid 5612 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎𝑧) = ( I ↾ 𝑎)
8078, 79syl6eq 2808 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝑆) → (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)) = ( I ↾ 𝑎))
8180rneqd 5506 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝑆) → ran (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)) = ran ( I ↾ 𝑎))
82 rnresi 5635 . . . . . . 7 ran ( I ↾ 𝑎) = 𝑎
8381, 82syl6eq 2808 . . . . . 6 ((𝜑𝑎𝑆) → ran (𝑧𝑎 ↦ ((0g𝐺) + 𝑧)) = 𝑎)
8470, 83eqtrd 2792 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎)
85 ovex 6839 . . . . . . . . . 10 (𝑐 + 𝑧) ∈ V
86 oveq2 6819 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = (𝑐 + 𝑧) → (𝑏 + 𝑤) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
8785, 86abrexco 6663 . . . . . . . . 9 {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = (𝑐 + 𝑧)}𝑢 = (𝑏 + 𝑤)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧))}
88 simprr 813 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑐𝑋)
8960adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑎𝑆)
90 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
91 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = 𝑐)
9291oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑐 + 𝑧))
9390, 92mpteq12dv 4883 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)))
9493rneqd 5506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = 𝑐𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)))
9566mptex 6648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)) ∈ V
9695rnex 7263 . . . . . . . . . . . . . 14 ran (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)) ∈ V
9794, 53, 96ovmpt2a 6954 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐𝑋𝑎𝑆) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)))
9888, 89, 97syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)))
99 eqid 2758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)) = (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧))
10099rnmpt 5524 . . . . . . . . . . . 12 ran (𝑧𝑎 ↦ (𝑐 + 𝑧)) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = (𝑐 + 𝑧)}
10198, 100syl6eq 2808 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) = {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = (𝑐 + 𝑧)})
102101rexeqdv 3282 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = (𝑏 + 𝑤) ↔ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = (𝑐 + 𝑧)}𝑢 = (𝑏 + 𝑤)))
103102abbidv 2877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = (𝑏 + 𝑤)} = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ {𝑣 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑣 = (𝑐 + 𝑧)}𝑢 = (𝑏 + 𝑤)})
10456ad2antrr 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝐺 ∈ Grp)
105 simprl 811 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝑏𝑋)
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑏𝑋)
10788adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑐𝑋)
10875adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → 𝑧𝑋)
1093, 10grpass 17630 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
110104, 106, 107, 108, 109syl13anc 1479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧)))
111110eqeq2d 2768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) ∧ 𝑧𝑎) → (𝑢 = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ↔ 𝑢 = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧))))
112111rexbidva 3185 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧) ↔ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧))))
113112abbidv 2877 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = (𝑏 + (𝑐 + 𝑧))})
11487, 103, 1133eqtr4a 2818 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = (𝑏 + 𝑤)} = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)})
115 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤))
116115rnmpt 5524 . . . . . . . 8 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)) = {𝑢 ∣ ∃𝑤 ∈ (𝑐 𝑎)𝑢 = (𝑏 + 𝑤)}
117 eqid 2758 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
118117rnmpt 5524 . . . . . . . 8 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)) = {𝑢 ∣ ∃𝑧𝑎 𝑢 = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)}
119114, 116, 1183eqtr4g 2817 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)))
12055ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → :(𝑋 × 𝑆)⟶𝑆)
121120, 88, 89fovrnd 6969 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑐 𝑎) ∈ 𝑆)
122 simpr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑦 = (𝑐 𝑎))
123 simpl 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → 𝑥 = 𝑏)
124123oveq1d 6826 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑥 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑧))
125122, 124mpteq12dv 4883 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑧)))
126 oveq2 6819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = 𝑤 → (𝑏 + 𝑧) = (𝑏 + 𝑤))
127126cbvmptv 4900 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑧)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤))
128125, 127syl6eq 2808 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)))
129128rneqd 5506 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = 𝑏𝑦 = (𝑐 𝑎)) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)))
130 ovex 6839 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 𝑎) ∈ V
131130mptex 6648 . . . . . . . . . 10 (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)) ∈ V
132131rnex 7263 . . . . . . . . 9 ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)) ∈ V
133129, 53, 132ovmpt2a 6954 . . . . . . . 8 ((𝑏𝑋 ∧ (𝑐 𝑎) ∈ 𝑆) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)))
134105, 121, 133syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 (𝑐 𝑎)) = ran (𝑤 ∈ (𝑐 𝑎) ↦ (𝑏 + 𝑤)))
1351ad2antrr 764 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
1363, 10grpcl 17629 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝑋𝑐𝑋) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
137135, 105, 88, 136syl3anc 1477 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋)
138 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑦 = 𝑎)
139 simpl 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → 𝑥 = (𝑏 + 𝑐))
140139oveq1d 6826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑥 + 𝑧) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧))
141138, 140mpteq12dv 4883 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)))
142141rneqd 5506 . . . . . . . . 9 ((𝑥 = (𝑏 + 𝑐) ∧ 𝑦 = 𝑎) → ran (𝑧𝑦 ↦ (𝑥 + 𝑧)) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)))
14366mptex 6648 . . . . . . . . . 10 (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)) ∈ V
144143rnex 7263 . . . . . . . . 9 ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)) ∈ V
145142, 53, 144ovmpt2a 6954 . . . . . . . 8 (((𝑏 + 𝑐) ∈ 𝑋𝑎𝑆) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)))
146137, 89, 145syl2anc 696 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = ran (𝑧𝑎 ↦ ((𝑏 + 𝑐) + 𝑧)))
147119, 134, 1463eqtr4rd 2803 . . . . . 6 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ (𝑏𝑋𝑐𝑋)) → ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
148147ralrimivva 3107 . . . . 5 ((𝜑𝑎𝑆) → ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))
14984, 148jca 555 . . . 4 ((𝜑𝑎𝑆) → (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
150149ralrimiva 3102 . . 3 (𝜑 → ∀𝑎𝑆 (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))
15155, 150jca 555 . 2 (𝜑 → ( :(𝑋 × 𝑆)⟶𝑆 ∧ ∀𝑎𝑆 (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎)))))
1523, 10, 57isga 17922 . 2 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ V) ∧ ( :(𝑋 × 𝑆)⟶𝑆 ∧ ∀𝑎𝑆 (((0g𝐺) 𝑎) = 𝑎 ∧ ∀𝑏𝑋𝑐𝑋 ((𝑏 + 𝑐) 𝑎) = (𝑏 (𝑐 𝑎))))))
1538, 151, 152sylanbrc 701 1 (𝜑 ∈ (𝐺 GrpAct 𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1630   ∈ wcel 2137  {cab 2744  ∀wral 3048  ∃wrex 3049  {crab 3052  Vcvv 3338   ⊆ wss 3713  𝒫 cpw 4300   class class class wbr 4802   ↦ cmpt 4879   I cid 5171   × cxp 5262  ran crn 5265   ↾ cres 5266  ⟶wf 6043  –1-1→wf1 6044  –1-1-onto→wf1o 6046  ‘cfv 6047  (class class class)co 6811   ↦ cmpt2 6813   ≈ cen 8116  Fincfn 8119  ℕ0cn0 11482  ↑cexp 13052  ♯chash 13309   ∥ cdvds 15180  ℙcprime 15585  Basecbs 16057  +gcplusg 16141  0gc0g 16300  Grpcgrp 17621   GrpAct cga 17920 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-rep 4921  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053  ax-un 7112  ax-cnex 10182  ax-resscn 10183  ax-1cn 10184  ax-icn 10185  ax-addcl 10186  ax-addrcl 10187  ax-mulcl 10188  ax-mulrcl 10189  ax-mulcom 10190  ax-addass 10191  ax-mulass 10192  ax-distr 10193  ax-i2m1 10194  ax-1ne0 10195  ax-1rid 10196  ax-rnegex 10197  ax-rrecex 10198  ax-cnre 10199  ax-pre-lttri 10200  ax-pre-lttrn 10201  ax-pre-ltadd 10202  ax-pre-mulgt0 10203 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-reu 3055  df-rmo 3056  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-pss 3729  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-tp 4324  df-op 4326  df-uni 4587  df-int 4626  df-iun 4672  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-tr 4903  df-id 5172  df-eprel 5177  df-po 5185  df-so 5186  df-fr 5223  df-we 5225  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-pred 5839  df-ord 5885  df-on 5886  df-lim 5887  df-suc 5888  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fn 6050  df-f 6051  df-f1 6052  df-fo 6053  df-f1o 6054  df-fv 6055  df-riota 6772  df-ov 6814  df-oprab 6815  df-mpt2 6816  df-om 7229  df-1st 7331  df-2nd 7332  df-wrecs 7574  df-recs 7635  df-rdg 7673  df-er 7909  df-map 8023  df-en 8120  df-dom 8121  df-sdom 8122  df-fin 8123  df-card 8953  df-pnf 10266  df-mnf 10267  df-xr 10268  df-ltxr 10269  df-le 10270  df-sub 10458  df-neg 10459  df-nn 11211  df-n0 11483  df-z 11568  df-uz 11878  df-hash 13310  df-0g 16302  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-ga 17921 This theorem is referenced by:  sylow1lem3  18213  sylow1lem5  18215
 Copyright terms: Public domain W3C validator