Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sxbrsigalem3 30564
Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of (ℝ × ℝ) is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of (ℝ × ℝ). (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0 𝐽 = (topGen‘ran (,))
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem3 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Distinct variable group:   𝑒,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐽(𝑒,𝑓)

Proof of Theorem sxbrsigalem3
Dummy variables 𝑢 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsigalem0 30563 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (ℝ × ℝ)
2 sxbrsiga.0 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
3 retop 22687 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
42, 3eqeltri 2799 . . . . 5 𝐽 ∈ Top
54, 4txtopi 21516 . . . 4 (𝐽 ×t 𝐽) ∈ Top
6 uniretop 22688 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
72unieqi 4553 . . . . . 6 𝐽 = (topGen‘ran (,))
86, 7eqtr4i 2749 . . . . 5 ℝ = 𝐽
94, 4, 8, 8txunii 21519 . . . 4 (ℝ × ℝ) = (𝐽 ×t 𝐽)
105, 9unicls 30179 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) = (ℝ × ℝ)
111, 10eqtr4i 2749 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
12 ovex 6793 . . . . . . 7 (𝑒[,)+∞) ∈ V
13 reex 10140 . . . . . . 7 ℝ ∈ V
1412, 13xpex 7079 . . . . . 6 ((𝑒[,)+∞) × ℝ) ∈ V
15 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) = (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))
1614, 15fnmpti 6135 . . . . 5 (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ
17 oveq1 6772 . . . . . . . . 9 (𝑒 = 𝑢 → (𝑒[,)+∞) = (𝑢[,)+∞))
1817xpeq1d 5247 . . . . . . . 8 (𝑒 = 𝑢 → ((𝑒[,)+∞) × ℝ) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
19 ovex 6793 . . . . . . . . 9 (𝑢[,)+∞) ∈ V
2019, 13xpex 7079 . . . . . . . 8 ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ V
2118, 15, 20fvmpt 6396 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) = ((𝑢[,)+∞) × ℝ))
22 icopnfcld 22693 . . . . . . . . 9 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
232fveq2i 6307 . . . . . . . . 9 (Clsd‘𝐽) = (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2422, 23syl6eleqr 2814 . . . . . . . 8 (𝑢 ∈ ℝ → (𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
25 dif0 4058 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) = ℝ
26 0opn 20832 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ Top → ∅ ∈ 𝐽)
274, 26ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ 𝐽
288opncld 20960 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ ∅ ∈ 𝐽) → (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽))
294, 27, 28mp2an 710 . . . . . . . . 9 (ℝ ∖ ∅) ∈ (Clsd‘𝐽)
3025, 29eqeltrri 2800 . . . . . . . 8 ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)
31 txcld 21529 . . . . . . . 8 (((𝑢[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ ℝ ∈ (Clsd‘𝐽)) → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3224, 30, 31sylancl 697 . . . . . . 7 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑢[,)+∞) × ℝ) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3321, 32eqeltrd 2803 . . . . . 6 (𝑢 ∈ ℝ → ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3433rgen 3024 . . . . 5 𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
35 fnfvrnss 6505 . . . . 5 (((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) Fn ℝ ∧ ∀𝑢 ∈ ℝ ((𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ))‘𝑢) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
3616, 34, 35mp2an 710 . . . 4 ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
37 ovex 6793 . . . . . . 7 (𝑓[,)+∞) ∈ V
3813, 37xpex 7079 . . . . . 6 (ℝ × (𝑓[,)+∞)) ∈ V
39 eqid 2724 . . . . . 6 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) = (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))
4038, 39fnmpti 6135 . . . . 5 (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ
41 oveq1 6772 . . . . . . . . 9 (𝑓 = 𝑣 → (𝑓[,)+∞) = (𝑣[,)+∞))
4241xpeq2d 5248 . . . . . . . 8 (𝑓 = 𝑣 → (ℝ × (𝑓[,)+∞)) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
43 ovex 6793 . . . . . . . . 9 (𝑣[,)+∞) ∈ V
4413, 43xpex 7079 . . . . . . . 8 (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ V
4542, 39, 44fvmpt 6396 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) = (ℝ × (𝑣[,)+∞)))
46 icopnfcld 22693 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
4746, 23syl6eleqr 2814 . . . . . . . 8 (𝑣 ∈ ℝ → (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽))
48 txcld 21529 . . . . . . . 8 ((ℝ ∈ (Clsd‘𝐽) ∧ (𝑣[,)+∞) ∈ (Clsd‘𝐽)) → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
4930, 47, 48sylancr 698 . . . . . . 7 (𝑣 ∈ ℝ → (ℝ × (𝑣[,)+∞)) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5045, 49eqeltrd 2803 . . . . . 6 (𝑣 ∈ ℝ → ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5150rgen 3024 . . . . 5 𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
52 fnfvrnss 6505 . . . . 5 (((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) Fn ℝ ∧ ∀𝑣 ∈ ℝ ((𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))‘𝑣) ∈ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) → ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5340, 51, 52mp2an 710 . . . 4 ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
5436, 53unssi 3896 . . 3 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))
55 fvex 6314 . . . 4 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V
56 sssigagen 30438 . . . 4 ((Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V → (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
5755, 56ax-mp 5 . . 3 (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
5854, 57sstri 3718 . 2 (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
59 sigagenss2 30443 . 2 (( (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) = (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∧ (ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞)))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))) ∧ (Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)) ∈ V) → (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽))))
6011, 58, 55, 59mp3an 1537 1 (sigaGen‘(ran (𝑒 ∈ ℝ ↦ ((𝑒[,)+∞) × ℝ)) ∪ ran (𝑓 ∈ ℝ ↦ (ℝ × (𝑓[,)+∞))))) ⊆ (sigaGen‘(Clsd‘(𝐽 ×t 𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1596  wcel 2103  wral 3014  Vcvv 3304  cdif 3677  cun 3678  wss 3680  c0 4023   cuni 4544  cmpt 4837   × cxp 5216  ran crn 5219   Fn wfn 5996  cfv 6001  (class class class)co 6765  cr 10048  +∞cpnf 10184  (,)cioo 12289  [,)cico 12291  topGenctg 16221  Topctop 20821  Clsdccld 20943   ×t ctx 21486  sigaGencsigagen 30431
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-fal 1602  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-inf 8465  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-div 10798  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-q 11903  df-ioo 12293  df-ico 12295  df-topgen 16227  df-top 20822  df-topon 20839  df-bases 20873  df-cld 20946  df-tx 21488  df-siga 30401  df-sigagen 30432
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  30579
  Copyright terms: Public domain W3C validator