MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdswrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdswrd 13506
Description: A subword of a subword. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdswrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))

Proof of Theorem swrdswrd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13464 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
213ad2ant1 1102 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
32adantr 480 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
4 elfz0ubfz0 12482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
54adantl 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐾 ∈ (0...𝐿))
6 elfzuz 12376 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
76adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → 𝐾 ∈ (ℤ‘0))
8 fzss1 12418 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ (ℤ‘0) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐾...(𝑁𝑀)) ⊆ (0...(𝑁𝑀)))
109sseld 3635 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ 𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀))) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀))))
1110impr 648 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(𝑁𝑀)))
12 3ancomb 1064 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
1312biimpi 206 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
1413adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
15 swrdlen 13468 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1614, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)) = (𝑁𝑀))
1716oveq2d 6706 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))) = (0...(𝑁𝑀)))
1811, 17eleqtrrd 2733 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))))
19 swrdval2 13465 . . . 4 (((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉𝐾 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(#‘(𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
203, 5, 18, 19syl3anc 1366 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))))
21 fvex 6239 . . . . . 6 ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) ∈ V
22 eqid 2651 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))
2321, 22fnmpti 6060 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾))
2423a1i 11 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
25 swrdswrdlem 13505 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
26 swrdvalfn 13472 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
2725, 26syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
28 elfzelz 12380 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
29 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → 𝐿 ∈ ℤ)
30 elfzelz 12380 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
31 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝑀 ∈ ℂ)
33 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℂ)
3433ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℂ)
35 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
3635ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℂ)
37 pnpcan 10358 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)) = (𝐿𝐾))
3837eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
3932, 34, 36, 38syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4039expcom 450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4129, 30, 40syl2anr 494 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4228, 41syl5com 31 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
43423ad2ant3 1104 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4443imp 444 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
4544oveq2d 6706 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
4645fneq2d 6020 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
4727, 46mpbird 247 . . . 4 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩) Fn (0..^(𝐿𝐾)))
48 simpr 476 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)))
49 fvex 6239 . . . . . . 7 (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V
50 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 + 𝐾) = (𝑦 + 𝐾))
5150oveq1d 6705 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 + 𝐾) + 𝑀) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
5251fveq2d 6233 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦 → (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
53 eqid 2651 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
5452, 53fvmptg 6319 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ∧ (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) ∈ V) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
5548, 49, 54sylancl 695 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)))
56 elfzoelz 12509 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → 𝑦 ∈ ℤ)
57 zcn 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
5857, 31, 353anim123i 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
59583expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
60 add32r 10293 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)) = ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀))
6160eqcomd 2657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
6362exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6463com13 88 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6530, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6728, 66syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
68673ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))))
6968imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ ℤ → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7056, 69syl5com 31 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7170impcom 445 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑦 + 𝐾) + 𝑀) = (𝑦 + (𝑀 + 𝐾)))
7271fveq2d 6233 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊‘((𝑦 + 𝐾) + 𝑀)) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7355, 72eqtrd 2685 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
7413ad3antrrr 766 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))))
75 elfz2nn0 12469 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)))
76 elfz2 12371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) ↔ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))))
77 elfzo0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ (𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)))
78 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑥 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℝ)
7978ad2antrl 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝑥 ∈ ℝ)
80 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
8180adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐾 ∈ ℝ)
82 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
8382ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐿 ∈ ℝ)
84 ltaddsub 10540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝑥 < (𝐿𝐾)))
8584bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
8679, 81, 83, 85syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) ↔ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿))
87 nn0addcl 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
8887ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0))
9089impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
9190ad3antrrr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0)
92 elnn0z 11428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)))
93 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 0 ∈ ℝ)
94 zre 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9594adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
9682adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℝ)
97 lelttr 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
9893, 95, 96, 97syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → 0 < 𝐿))
99 0red 10079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
10082adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
101 nn0re 11339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
102101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
103 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
10499, 100, 102, 103syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → 0 < (𝑁𝑀)))
105 elnnnn0b 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ ↔ ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁𝑀)))
106105simplbi2 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
107106adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (0 < (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
108104, 107syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐿 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → ((0 < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))
109108exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (0 < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
110109com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 (𝐿 ∈ ℤ → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
11298, 111syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((0 ≤ (𝑥 + 𝐾) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
113112expd 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
114113a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
115114ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
116115com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ → (0 ≤ (𝑥 + 𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))))
117116imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝐾)) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11892, 117sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))))
11987, 118mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
120119impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)))))
121120impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ))))
122121imp41 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑁𝑀) ∈ ℕ)
123 nn0readdcl 11395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
124123ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 (𝑥 ∈ ℕ0 → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ))
126125impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
127126adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ)
12883adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
129101adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑁𝑀) ∈ ℝ)
130 ltletr 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑥 + 𝐾) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℝ) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
131127, 128, 129, 130syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (((𝑥 + 𝐾) < 𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
132131exp4b 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
133132com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))))
134133imp41 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀))
135 elfzo0 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)) ↔ ((𝑥 + 𝐾) ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑥 + 𝐾) < (𝑁𝑀)))
13691, 122, 134, 135syl3anbrc 1265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) ∧ (𝑥 + 𝐾) < 𝐿) ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
137136exp41 637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 + 𝐾) < 𝐿 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
13886, 137sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
139138ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
140139com24 95 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐾 ∈ ℕ0 → ((𝑁𝑀) ∈ ℕ0 → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))))
141140imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
142141com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑥 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ) → (𝑥 < (𝐿𝐾) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
143142impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑥 ∈ ℕ0𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1441433adant2 1100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿𝐾) ∈ ℕ ∧ 𝑥 < (𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
14577, 144sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
146145com14 96 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐿 ≤ (𝑁𝑀) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
147146adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
148147com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐿 ∈ ℤ → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
1491483ad2ant3 1104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))))
150149imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (𝐾𝐿𝐿 ≤ (𝑁𝑀))) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
15176, 150sylbi 207 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
152151com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
1531523adant3 1101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁𝑀) ∈ ℕ0𝐾 ≤ (𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
15475, 153sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) → (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))))
155154imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
156155adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
157156adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))))
158157imp 444 . . . . . . . 8 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀)))
159 swrdfv 13469 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ (𝑥 + 𝐾) ∈ (0..^(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
16074, 158, 159syl2anc 694 . . . . . . 7 (((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)) = (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))
161160mpteq2dva 4777 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀))))
162161fveq1d 6231 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ (𝑊‘((𝑥 + 𝐾) + 𝑀)))‘𝑦))
16325adantr 480 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))))
16431, 33, 353anim123i 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
1651643expa 1284 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ∈ ℂ))
166165, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
167166exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
168167com3l 89 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐿 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
16929, 168syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)) → (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
17030, 169mpan9 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝑀 ∈ ℤ → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
17128, 170syl5com 31 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
1721713ad2ant3 1104 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
173172imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝐿𝐾) = ((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))
174173oveq2d 6706 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (0..^(𝐿𝐾)) = (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
175174eleq2d 2716 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↔ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))))
176175biimpa 500 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾))))
177 swrdfv 13469 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀 + 𝐾) ∈ (0...(𝑀 + 𝐿)) ∧ (𝑀 + 𝐿) ∈ (0...(#‘𝑊))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^((𝑀 + 𝐿) − (𝑀 + 𝐾)))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
178163, 176, 177syl2anc 694 . . . . 5 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦) = (𝑊‘(𝑦 + (𝑀 + 𝐾))))
17973, 162, 1783eqtr4d 2695 . . . 4 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) ∧ 𝑦 ∈ (0..^(𝐿𝐾))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾)))‘𝑦) = ((𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)‘𝑦))
18024, 47, 179eqfnfvd 6354 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐾)) ↦ ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩)‘(𝑥 + 𝐾))) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
18120, 180eqtrd 2685 . 2 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) ∧ (𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀)))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩))
182181ex 449 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑁 ∈ (0...(#‘𝑊)) ∧ 𝑀 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐾 ∈ (0...(𝑁𝑀)) ∧ 𝐿 ∈ (𝐾...(𝑁𝑀))) → ((𝑊 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) substr ⟨𝐾, 𝐿⟩) = (𝑊 substr ⟨(𝑀 + 𝐾), (𝑀 + 𝐿)⟩)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  Vcvv 3231  wss 3607  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762   Fn wfn 5921  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  cr 9973  0cc0 9974   + caddc 9977   < clt 10112  cle 10113  cmin 10304  cn 11058  0cn0 11330  cz 11415  cuz 11725  ...cfz 12364  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-substr 13335
This theorem is referenced by:  swrd0swrd  13507  swrdswrd0  13508
  Copyright terms: Public domain W3C validator