MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrds1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrds1 13660
Description: Extract a single symbol from a word. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrds1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)

Proof of Theorem swrds1
StepHypRef Expression
1 swrdcl 13627 . . . 4 (𝑊 ∈ Word 𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
21adantr 466 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴)
3 simpl 468 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝑊 ∈ Word 𝐴)
4 elfzouz 12682 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
54adantl 467 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (ℤ‘0))
6 elfzoelz 12678 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝐼 ∈ ℤ)
76adantl 467 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℤ)
8 uzid 11903 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ (ℤ𝐼))
9 peano2uz 11943 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ (ℤ𝐼) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
107, 8, 93syl 18 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼))
11 elfzuzb 12543 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ↔ (𝐼 ∈ (ℤ‘0) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (ℤ𝐼)))
125, 10, 11sylanbrc 572 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)))
13 fzofzp1 12773 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
1413adantl 467 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
15 swrdlen 13631 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
163, 12, 14, 15syl3anc 1476 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = ((𝐼 + 1) − 𝐼))
177zcnd 11685 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 ∈ ℂ)
18 ax-1cn 10196 . . . . 5 1 ∈ ℂ
19 pncan2 10490 . . . . 5 ((𝐼 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2017, 18, 19sylancl 574 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝐼 + 1) − 𝐼) = 1)
2116, 20eqtrd 2805 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1)
22 eqs1 13592 . . 3 (((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) ∈ Word 𝐴 ∧ (♯‘(𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)) = 1) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
232, 21, 22syl2anc 573 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩)
24 0z 11590 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
25 snidg 4345 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ {0})
2624, 25ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ {0}
2720oveq2d 6809 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = (0..^1))
28 fzo01 12758 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
2927, 28syl6eq 2821 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)) = {0})
3026, 29syl5eleqr 2857 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼)))
31 swrdfv 13632 . . . . 5 (((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0...(𝐼 + 1)) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 0 ∈ (0..^((𝐼 + 1) − 𝐼))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
323, 12, 14, 30, 31syl31anc 1479 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
33 addid2 10421 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ ℂ → (0 + 𝐼) = 𝐼)
3433eqcomd 2777 . . . . . 6 (𝐼 ∈ ℂ → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3517, 34syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → 𝐼 = (0 + 𝐼))
3635fveq2d 6336 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊𝐼) = (𝑊‘(0 + 𝐼)))
3732, 36eqtr4d 2808 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0) = (𝑊𝐼))
3837s1eqd 13581 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ⟨“((𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩)‘0)”⟩ = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
3923, 38eqtrd 2805 1 ((𝑊 ∈ Word 𝐴𝐼 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨𝐼, (𝐼 + 1)⟩) = ⟨“(𝑊𝐼)”⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {csn 4316  cop 4322  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  cmin 10468  cz 11579  cuz 11888  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487  ⟨“cs1 13490   substr csubstr 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-card 8965  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-s1 13498  df-substr 13499
This theorem is referenced by:  swrdlsw  13661  swrdccatwrd  13677  wrdeqs1cat  13683  swrds2  13894  pfx1  41939
  Copyright terms: Public domain W3C validator