MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd2 13479
Description: Value of the subword extractor outside its intended domain. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orass 1057 . . 3 ((𝐵𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) ↔ (𝐵𝐴 ∨ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)))
2 pm2.24 121 . . . . 5 (𝐵𝐴 → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
3 swrdval 13462 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
43ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅))
5 wrdf 13342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉)
6 fdm 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊:(0..^(#‘𝑊))⟶𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
75, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)))
8 lencl 13356 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (#‘𝑊) ∈ ℕ0)
9 3anass 1059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ↔ ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)))
10 ssfzoulel 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐵𝐴)))
1110imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((#‘𝑊) ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐵𝐴))
129, 11sylanbr 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)) → 𝐵𝐴))
1312con3dimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊)))
14 sseq2 3660 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊))))
1514notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → (¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ (0..^(#‘𝑊))))
1613, 15syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → (((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
1716expd 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((((#‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ)) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
1817exp4c 635 . . . . . . . . . . . . . 14 (dom 𝑊 = (0..^(#‘𝑊)) → ((#‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))))
197, 8, 18sylc 65 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))))
20193impib 1281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)))
2120imp 444 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊))
2221imp 444 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → ¬ (𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊)
2322iffalsed 4130 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → if((𝐴..^𝐵) ⊆ dom 𝑊, (𝑥 ∈ (0..^(𝐵𝐴)) ↦ (𝑊‘(𝑥 + 𝐴))), ∅) = ∅)
244, 23eqtrd 2685 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) ∧ ¬ 𝐵𝐴) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)
2524ex 449 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
2625expcom 450 . . . . . 6 (((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (¬ 𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
2726com23 86 . . . . 5 (((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
282, 27jaoi 393 . . . 4 ((𝐵𝐴 ∨ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → (¬ 𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅)))
29 swrdlend 13477 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐵𝐴 → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
3029com12 32 . . . 4 (𝐵𝐴 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
3128, 30pm2.61d2 172 . . 3 ((𝐵𝐴 ∨ ((#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
321, 31sylbi 207 . 2 ((𝐵𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
3332com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐵𝐴 ∨ (#‘𝑊) ≤ 𝐴𝐵 ≤ 0) → (𝑊 substr ⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3o 1053  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  cop 4216   class class class wbr 4685  cmpt 4762  dom cdm 5143  wf 5922  cfv 5926  (class class class)co 6690  0cc0 9974   + caddc 9977  cle 10113  cmin 10304  0cn0 11330  cz 11415  ..^cfzo 12504  #chash 13157  Word cword 13323   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-substr 13335
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator