MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdnd 13641
Description: The value of the subword extractor is the empty set (undefined) if the range is not valid. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrdnd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))

Proof of Theorem swrdnd
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 3orcomb 1078 . . . 4 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿𝐿𝐹))
2 df-3or 1072 . . . 4 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿𝐿𝐹) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹))
31, 2bitri 264 . . 3 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹))
4 swrdlend 13640 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
54com12 32 . . . . 5 (𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
6 swrdval 13625 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
76adantl 467 . . . . . . . 8 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅))
8 zre 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
9 0red 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ℤ → 0 ∈ ℝ)
108, 9ltnled 10390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
11103ad2ant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 0 ↔ ¬ 0 ≤ 𝐹))
12 lencl 13520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
1312nn0red 11559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℝ)
14 zre 11588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
1513, 14anim12i 600 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
16153adant2 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
17 ltnle 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((♯‘𝑊) ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((♯‘𝑊) < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
1911, 18orbi12d 904 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2019biimpcd 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2120adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
2221imp 393 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
23 ianor 966 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊)) ↔ (¬ 0 ≤ 𝐹 ∨ ¬ 𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
2422, 23sylibr 224 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊)))
25 3simpc 1146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2625adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
2712nn0zd 11687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
28 0z 11595 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℤ
2927, 28jctil 509 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
30293ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
3130adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ))
32 ltnle 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
338, 14, 32syl2an 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
34333adant1 1124 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 ↔ ¬ 𝐿𝐹))
3534biimprcd 240 . . . . . . . . . . . . . 14 𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
3635adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → 𝐹 < 𝐿))
3736imp 393 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → 𝐹 < 𝐿)
38 ssfzo12bi 12771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) ∧ (0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℤ) ∧ 𝐹 < 𝐿) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
3926, 31, 37, 38syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (0 ≤ 𝐹𝐿 ≤ (♯‘𝑊))))
4024, 39mtbird 314 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊)))
41 wrddm 13508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → dom 𝑊 = (0..^(♯‘𝑊)))
4241sseq2d 3782 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4342notbid 307 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
44433ad2ant1 1127 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4544adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊 ↔ ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑊))))
4640, 45mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊)
4746iffalsed 4237 . . . . . . . 8 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom 𝑊, (𝑖 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (𝑊‘(𝑖 + 𝐹))), ∅) = ∅)
487, 47eqtrd 2805 . . . . . . 7 ((((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∧ ¬ 𝐿𝐹) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
4948exp31 406 . . . . . 6 ((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (¬ 𝐿𝐹 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)))
5049impcom 394 . . . . 5 ((¬ 𝐿𝐹 ∧ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
515, 50jaoi3 1047 . . . 4 ((𝐿𝐹 ∨ (𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿)) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5251orcoms 861 . . 3 (((𝐹 < 0 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) ∨ 𝐿𝐹) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
533, 52sylbi 207 . 2 ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
5453com12 32 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹 < 0 ∨ 𝐿𝐹 ∨ (♯‘𝑊) < 𝐿) → (𝑊 substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 836  w3o 1070  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wss 3723  c0 4063  ifcif 4226  cop 4323   class class class wbr 4787  cmpt 4864  dom cdm 5250  cfv 6030  (class class class)co 6796  cr 10141  0cc0 10142   + caddc 10145   < clt 10280  cle 10281  cmin 10472  cz 11584  ..^cfzo 12673  chash 13321  Word cword 13487   substr csubstr 13491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-oadd 7721  df-er 7900  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-n0 11500  df-z 11585  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-hash 13322  df-word 13495  df-substr 13499
This theorem is referenced by:  pfxnd  41920
  Copyright terms: Public domain W3C validator