Theorem swrdlsw 13573

Description: Extract the last single symbol from a word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
swrdlsw	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩)

Proof of Theorem swrdlsw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hashneq0 13268	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
2		lencl 13431	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
3		nn0z 11513	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℤ)
4		elnnz 11500	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)))
5		fzo0end 12675	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
6	4, 5	sylbir 225	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℤ ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
7	6	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℤ → (0 < (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
8	2, 3, 7	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
9	1, 8	sylbird 250	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ≠ ∅ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
10	9	imp 444	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
11		swrds1 13572	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
12	10, 11	syldan 488	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
13		nn0cn 11415	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
14		ax-1cn 10107	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
15	13, 14	jctir 562	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ))
16		npcan 10403	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
17	16	eqcomd 2730	. . . . . 6 ⊢ (((♯‘𝑊) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
18	2, 15, 17	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
19	18	adantr 472	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
20	19	opeq2d 4516	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
21	20	oveq2d 6781	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
22		lsw 13459	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
23	22	adantr 472	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ( lastS ‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
24	23	s1eqd 13492	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
25	12, 21, 24	3eqtr4d 2768	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“( lastS ‘𝑊)”⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1596   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2896  ∅c0 4023  ⟨cop 4291   class class class wbr 4760  ‘cfv 6001  (class class class)co 6765  ℂcc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052   < clt 10187   − cmin 10379  ℕcn 11133  ℕ₀cn0 11405  ℤcz 11490  ..^cfzo 12580  ♯chash 13232  Word cword 13398   lastS clsw 13399  ⟨“cs1 13401   substr csubstr 13402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-oadd 7684  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-xnn0 11477  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-lsw 13407  df-s1 13409  df-substr 13410

This theorem is referenced by:  2swrd1eqwrdeq  13575  pfxsuff1eqwrdeq  41834  pfxlswccat  41847