MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatwrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatwrd 13668
Description: Reconstruct a nonempty word from its prefix and last symbol. (Contributed by Alexander van der Vekens, 5-Aug-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrdccatwrd ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)

Proof of Theorem swrdccatwrd
StepHypRef Expression
1 lennncl 13511 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
2 fzo0end 12754 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
31, 2syl 17 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
4 swrds1 13651 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
53, 4syldan 488 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩) = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
6 nncn 11220 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
7 1cnd 10248 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
86, 7npcand 10588 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (((♯‘𝑊) − 1) + 1) = (♯‘𝑊))
98eqcomd 2766 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
101, 9syl 17 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) = (((♯‘𝑊) − 1) + 1))
1110opeq2d 4560 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩)
1211oveq2d 6829 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (((♯‘𝑊) − 1) + 1)⟩))
13 lsw 13538 . . . . . 6 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
1413adantr 472 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (lastS‘𝑊) = (𝑊‘((♯‘𝑊) − 1)))
1514s1eqd 13571 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(𝑊‘((♯‘𝑊) − 1))”⟩)
165, 12, 153eqtr4rd 2805 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))
1716oveq2d 6829 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))
18 nnm1nn0 11526 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0)
19 0elfz 12630 . . . . . 6 (((♯‘𝑊) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)))
21 1nn0 11500 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
2221a1i 11 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ ℕ0)
23 nnnn0 11491 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
24 nnge1 11238 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ≤ (♯‘𝑊))
25 elfz2nn0 12624 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ (♯‘𝑊)))
2622, 23, 24, 25syl3anbrc 1429 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → 1 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
27 elfz1end 12564 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
2827biimpi 206 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊)))
29 fz0fzdiffz0 12642 . . . . . 6 ((1 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (1...(♯‘𝑊))) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3026, 28, 29syl2anc 696 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
31 nn0fz0 12631 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3231biimpi 206 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3323, 32syl 17 . . . . 5 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))
3420, 30, 333jca 1123 . . . 4 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
351, 34syl 17 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊))))
36 ccatswrd 13656 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (0 ∈ (0...((♯‘𝑊) − 1)) ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) ∈ (0...(♯‘𝑊)))) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
3735, 36syldan 488 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) = (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩))
38 swrdid 13628 . . 3 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
3938adantr 472 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨0, (♯‘𝑊)⟩) = 𝑊)
4017, 37, 393eqtrd 2798 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 substr ⟨0, ((♯‘𝑊) − 1)⟩) ++ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩) = 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  wne 2932  c0 4058  cop 4327   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458  cn 11212  0cn0 11484  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  chash 13311  Word cword 13477  lastSclsw 13478   ++ cconcat 13479  ⟨“cs1 13480   substr csubstr 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-lsw 13486  df-concat 13487  df-s1 13488  df-substr 13489
This theorem is referenced by:  ccats1swrdeq  13669  wrdind  13676  wrd2ind  13677  psgnunilem5  18114  wwlksnextwrd  27015  iwrdsplit  30758  signsvtn0  30956  signstfveq0  30963
  Copyright terms: Public domain W3C validator