MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrdccatin2d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrdccatin2d 13546
Description: The subword of a concatenation of two words within the second of the concatenated words. (Contributed by AV, 31-May-2018.) (Revised by Mario Carneiro/AV, 21-Oct-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
swrdccatind.l (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
swrdccatind.w (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
swrdccatin2d.1 (𝜑𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
swrdccatin2d.2 (𝜑𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
Assertion
Ref Expression
swrdccatin2d (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))

Proof of Theorem swrdccatin2d
StepHypRef Expression
1 swrdccatind.l . 2 (𝜑 → (#‘𝐴) = 𝐿)
2 swrdccatind.w . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
32adantl 481 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉))
4 swrdccatin2d.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ (𝐿...𝑁))
5 swrdccatin2d.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
64, 5jca 553 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
76adantl 481 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
8 oveq1 6697 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)...𝑁) = (𝐿...𝑁))
98eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ↔ 𝑀 ∈ (𝐿...𝑁)))
10 id 22 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (#‘𝐴) = 𝐿)
11 oveq1 6697 . . . . . . . . . . 11 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴) + (#‘𝐵)) = (𝐿 + (#‘𝐵)))
1210, 11oveq12d 6708 . . . . . . . . . 10 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) = (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))
1312eleq2d 2716 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))) ↔ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵)))))
149, 13anbi12d 747 . . . . . . . 8 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ((𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))))
1514adantr 480 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → ((𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) ↔ (𝑀 ∈ (𝐿...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...(𝐿 + (#‘𝐵))))))
167, 15mpbird 247 . . . . . 6 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))
173, 16jca 553 . . . . 5 (((#‘𝐴) = 𝐿𝜑) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))))
1817ex 449 . . . 4 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))))))
19 eqid 2651 . . . . . 6 (#‘𝐴) = (#‘𝐴)
2019swrdccatin2 13533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩)))
2120imp 444 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ((#‘𝐴)...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ ((#‘𝐴)...((#‘𝐴) + (#‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩))
2218, 21syl6 35 . . 3 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩)))
23 oveq2 6698 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑀 − (#‘𝐴)) = (𝑀𝐿))
24 oveq2 6698 . . . . . 6 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝑁 − (#‘𝐴)) = (𝑁𝐿))
2523, 24opeq12d 4441 . . . . 5 ((#‘𝐴) = 𝐿 → ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
2625oveq2d 6706 . . . 4 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
2726eqeq2d 2661 . . 3 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀 − (#‘𝐴)), (𝑁 − (#‘𝐴))⟩) ↔ ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
2822, 27sylibd 229 . 2 ((#‘𝐴) = 𝐿 → (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
291, 28mpcom 38 1 (𝜑 → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  cop 4216  cfv 5926  (class class class)co 6690   + caddc 9977  cmin 10304  ...cfz 12364  #chash 13157  Word cword 13323   ++ cconcat 13325   substr csubstr 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-hash 13158  df-word 13331  df-concat 13333  df-substr 13335
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator