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Theorem swrdccat 13693
Description: The subword of a concatenation of two words as concatenation of subwords of the two concatenated words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-May-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
swrdccatin12.l 𝐿 = (♯‘𝐴)
Assertion
Ref Expression
swrdccat ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))

Proof of Theorem swrdccat
StepHypRef Expression
1 swrdccatin12.l . . . . 5 𝐿 = (♯‘𝐴)
21swrdccat3 13692 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))))))
32imp 444 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))
4 lencl 13510 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
54adantr 472 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
61eqcomi 2769 . . . . . . 7 (♯‘𝐴) = 𝐿
76eleq1i 2830 . . . . . 6 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0)
8 elfz2nn0 12624 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (0...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁))
9 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
109adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝑁)
1110opeq2d 4560 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝑁⟩)
1211oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
13 iftrue 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = (𝑀𝐿))
1413opeq1d 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
1514oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1615adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
17 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
18 nn0z 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℤ)
19 nn0z 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
2019adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℤ)
21 zsubcl 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
2220, 21sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑀𝐿) ∈ ℤ)
23 nn0z 11592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
2423adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
25 zsubcl 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2624, 25sylan 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
2722, 26jca 555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2818, 27sylan2 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
2917, 28anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
30 3anass 1081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) ↔ (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ ((𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ)))
3129, 30sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
3231ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
33 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
34 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
3533, 34anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
36 nn0re 11493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝐿 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℝ)
37 subge0 10733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
3837adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
39 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑁 ∈ ℝ)
41 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝐿 ∈ ℝ)
42 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4342adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ ℝ)
4440, 41, 433jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ))
45 letr 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿𝐿𝑀) → 𝑁𝑀))
4746expcomd 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝐿𝑀 → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4838, 47sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝑁𝐿𝑁𝑀)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5035, 36, 49syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5150adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿 → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀)))
5251imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝑁𝑀))
5352impcom 445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → 𝑁𝑀)
5434adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℝ)
5633adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5756adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
5836adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ ℝ)
5955, 57, 583jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
6160ad2antrl 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
62 lesub1 10714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝑀 ↔ (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿)))
6453, 63mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿))
65 swrdlend 13631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑀𝐿) ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
6632, 64, 65sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
6716, 66eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
68 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
6968opeq1d 4559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
7069oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
7117adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
7271adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 𝐵 ∈ Word 𝑉)
73 0zd 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → 0 ∈ ℤ)
7424, 18, 25syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7574adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7675adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ∈ ℤ)
7772, 73, 763jca 1123 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ))
7854, 36anim12i 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
7978adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ))
80 suble0 10734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 ↔ 𝑁𝐿))
8281biimpar 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝑁𝐿) ≤ 0)
83 swrdlend 13631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐵 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ ℤ ∧ (𝑁𝐿) ∈ ℤ) → ((𝑁𝐿) ≤ 0 → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅))
8477, 82, 83sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8570, 84sylan9eq 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((¬ 0 ≤ (𝑀𝐿) ∧ (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿)) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8667, 85pm2.61ian 866 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = ∅)
8712, 86oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅))
88 swrdcl 13618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉)
89 ccatrid 13559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9088, 89syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐴 ∈ Word 𝑉 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9190adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9291adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9392adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) ++ ∅) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
9487, 93eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑁𝐿) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩))
95 iffalse 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑁𝐿 → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
96953ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
9796opeq2d 4560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
9897oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
99 simpl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → 𝐴 ∈ Word 𝑉)
10099, 20, 183anim123i 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
1011003expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
102 swrdlend 13631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅))
104103imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
1051043adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) = ∅)
10698, 105eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = ∅)
10756, 36, 37syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
108107biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
109108adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (𝐿𝑀 → 0 ≤ (𝑀𝐿)))
110109imp 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ 𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
1111103adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → 0 ≤ (𝑀𝐿))
112111, 14syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)
113112oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
114106, 113oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)))
115 swrdcl 13618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵 ∈ Word 𝑉 → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
116115adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉)
117 ccatlid 13558 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩) ∈ Word 𝑉 → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
119118adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
1201193ad2ant1 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → (∅ ++ (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
121114, 120eqtrd 2794 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩))
122953ad2ant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿) = 𝐿)
123122opeq2d 4560 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩ = ⟨𝑀, 𝐿⟩)
124123oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) = (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩))
12533, 36, 37syl2an 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
126125adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
127126adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) ↔ 𝐿𝑀))
128127biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → (0 ≤ (𝑀𝐿) → 𝐿𝑀))
129128con3dimp 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
1301293adant2 1126 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ¬ 0 ≤ (𝑀𝐿))
131130, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0) = 0)
132131opeq1d 4559 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩ = ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)
133132oveq2d 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩) = (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))
134124, 133oveq12d 6831 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) ∧ ¬ 𝑁𝐿 ∧ ¬ 𝐿𝑀) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))
13594, 121, 1342if2 4280 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝐿 ∈ ℕ0)) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))
136135exp32 632 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
137136com12 32 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1381373adant3 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝑀𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1398, 138sylbi 207 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (0...𝑁) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
140139adantr 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
141140com13 88 . . . . . 6 (𝐿 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1427, 141sylbi 207 . . . . 5 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))))
1435, 142mpcom 38 . . . 4 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩))))))
144143imp 444 . . 3 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)) = if(𝑁𝐿, (𝐴 substr ⟨𝑀, 𝑁⟩), if(𝐿𝑀, (𝐵 substr ⟨(𝑀𝐿), (𝑁𝐿)⟩), ((𝐴 substr ⟨𝑀, 𝐿⟩) ++ (𝐵 substr ⟨0, (𝑁𝐿)⟩)))))
1453, 144eqtr4d 2797 . 2 (((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) ∧ (𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵))))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩)))
146145ex 449 1 ((𝐴 ∈ Word 𝑉𝐵 ∈ Word 𝑉) → ((𝑀 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑁 ∈ (0...(𝐿 + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵) substr ⟨𝑀, 𝑁⟩) = ((𝐴 substr ⟨𝑀, if(𝑁𝐿, 𝑁, 𝐿)⟩) ++ (𝐵 substr ⟨if(0 ≤ (𝑀𝐿), (𝑀𝐿), 0), (𝑁𝐿)⟩))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wcel 2139  c0 4058  ifcif 4230  cop 4327   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  cr 10127  0cc0 10128   + caddc 10131  cle 10267  cmin 10458  0cn0 11484  cz 11569  ...cfz 12519  chash 13311  Word cword 13477   ++ cconcat 13479   substr csubstr 13481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-concat 13487  df-substr 13489
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