Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0val Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0val 13620
 Description: Value of the subword extractor for left-anchored subwords. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
swrd0val ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))

Proof of Theorem swrd0val
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfzelz 12535 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ ℤ)
21adantl 473 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℤ)
32zcnd 11675 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ ℂ)
43subid1d 10573 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝐿 − 0) = 𝐿)
54oveq2d 6829 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^(𝐿 − 0)) = (0..^𝐿))
65mpteq1d 4890 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
7 elfzoelz 12664 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℤ)
87zcnd 11675 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → 𝑥 ∈ ℂ)
98addid1d 10428 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑥 + 0) = 𝑥)
109fveq2d 6356 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0..^𝐿) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
1110adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) ∧ 𝑥 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑆‘(𝑥 + 0)) = (𝑆𝑥))
1211mpteq2dva 4896 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
136, 12eqtrd 2794 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
14 simpl 474 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆 ∈ Word 𝐴)
15 elfzuz 12531 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
1615adantl 473 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (ℤ‘0))
17 eluzfz1 12541 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤ‘0) → 0 ∈ (0...𝐿))
1816, 17syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 0 ∈ (0...𝐿))
19 simpr 479 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)))
20 swrdval2 13619 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
2114, 18, 19, 20syl3anc 1477 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿 − 0)) ↦ (𝑆‘(𝑥 + 0))))
22 wrdf 13496 . . . 4 (𝑆 ∈ Word 𝐴𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
2322adantr 472 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → 𝑆:(0..^(♯‘𝑆))⟶𝐴)
24 elfzuz3 12532 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆)) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
2524adantl 473 . . . 4 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿))
26 fzoss2 12690 . . . 4 ((♯‘𝑆) ∈ (ℤ𝐿) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
2725, 26syl 17 . . 3 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (0..^𝐿) ⊆ (0..^(♯‘𝑆)))
2823, 27feqresmpt 6412 . 2 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 ↾ (0..^𝐿)) = (𝑥 ∈ (0..^𝐿) ↦ (𝑆𝑥)))
2913, 21, 283eqtr4d 2804 1 ((𝑆 ∈ Word 𝐴𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑆))) → (𝑆 substr ⟨0, 𝐿⟩) = (𝑆 ↾ (0..^𝐿)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715  ⟨cop 4327   ↦ cmpt 4881   ↾ cres 5268  ⟶wf 6045  ‘cfv 6049  (class class class)co 6813  0cc0 10128   + caddc 10131   − cmin 10458  ℤcz 11569  ℤ≥cuz 11879  ...cfz 12519  ..^cfzo 12659  ♯chash 13311  Word cword 13477   substr csubstr 13481 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-card 8955  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-nn 11213  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-hash 13312  df-word 13485  df-substr 13489 This theorem is referenced by:  swrd0len  13621  swrdccat1  13657  psgnunilem5  18114  efgsres  18351  efgredlemd  18357  efgredlem  18360  wlkreslem0  26775  wwlksm1edg  26990  iwrdsplit  30758  wrdsplex  30927  signsvtn0  30956
 Copyright terms: Public domain W3C validator