MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0fv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0fv 13560
Description: A symbol in an left-anchored subword, indexed using the subword's indices. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
swrd0fv ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))

Proof of Theorem swrd0fv
StepHypRef Expression
1 simp1 1128 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
2 elfznn0 12547 . . . . 5 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℕ0)
3 0elfz 12551 . . . . 5 (𝐿 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...𝐿))
42, 3syl 17 . . . 4 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 0 ∈ (0...𝐿))
543ad2ant2 1126 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 0 ∈ (0...𝐿))
6 simp2 1129 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)))
7 elfzelz 12456 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℤ)
87zcnd 11596 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 ∈ ℂ)
9 subid1 10414 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℂ → (𝐿 − 0) = 𝐿)
109eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℂ → 𝐿 = (𝐿 − 0))
118, 10syl 17 . . . . . . 7 (𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
1211adantl 473 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → 𝐿 = (𝐿 − 0))
1312oveq2d 6781 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (0..^𝐿) = (0..^(𝐿 − 0)))
1413eleq2d 2789 . . . 4 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) → (𝐼 ∈ (0..^𝐿) ↔ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))))
1514biimp3a 1545 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0)))
16 swrdfv 13544 . . 3 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊))) ∧ 𝐼 ∈ (0..^(𝐿 − 0))) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
171, 5, 6, 15, 16syl31anc 1442 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊‘(𝐼 + 0)))
18 elfzoelz 12585 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℤ)
1918zcnd 11596 . . . . 5 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → 𝐼 ∈ ℂ)
2019addid1d 10349 . . . 4 (𝐼 ∈ (0..^𝐿) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
21203ad2ant3 1127 . . 3 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝐼 + 0) = 𝐼)
2221fveq2d 6308 . 2 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → (𝑊‘(𝐼 + 0)) = (𝑊𝐼))
2317, 22eqtrd 2758 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉𝐿 ∈ (0...(♯‘𝑊)) ∧ 𝐼 ∈ (0..^𝐿)) → ((𝑊 substr ⟨0, 𝐿⟩)‘𝐼) = (𝑊𝐼))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wcel 2103  cop 4291  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049   + caddc 10052  cmin 10379  0cn0 11405  ...cfz 12440  ..^cfzo 12580  chash 13232  Word cword 13398   substr csubstr 13402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-rep 4879  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-int 4584  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-1o 7680  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-fin 8076  df-card 8878  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-fzo 12581  df-hash 13233  df-word 13406  df-substr 13410
This theorem is referenced by:  swrd0fv0  13561  swrdtrcfv  13562  swrd0fvlsw  13564  swrdeq  13565  cshwidxmod  13670  wwlksm1edg  26911  wwlksnred  26931  clwwlkinwwlk  27090  clwwlkf  27097  wwlksubclwwlk  27110  clwlksfclwwlkOLD  27137  dlwwlknonclwlknonf1olem1  27445
  Copyright terms: Public domain W3C validator