MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  swrd0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem swrd0 13416
Description: A subword of an empty set is always the empty set. (Contributed by AV, 31-Mar-2018.) (Revised by AV, 20-Oct-2018.) (Proof shortened by AV, 2-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
swrd0 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅

Proof of Theorem swrd0
Dummy variables 𝑥 𝑠 𝑏 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 opelxp 5136 . . . 4 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) ↔ (∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)))
2 opelxp 5136 . . . . 5 (⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ) ↔ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ))
3 swrdval 13399 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅))
4 fzonlt0 12475 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (𝐹..^𝐿) = ∅))
54biimprd 238 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → ((𝐹..^𝐿) = ∅ → ¬ 𝐹 < 𝐿))
65con2d 129 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐹 < 𝐿 → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅))
76impcom 446 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) = ∅)
8 ss0 3965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹..^𝐿) ⊆ ∅ → (𝐹..^𝐿) = ∅)
97, 8nsyl 135 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅)
10 dm0 5328 . . . . . . . . . . . . 13 dom ∅ = ∅
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1211sseq2d 3625 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅ ↔ (𝐹..^𝐿) ⊆ ∅))
139, 12mtbird 315 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ¬ (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
1413iffalsed 4088 . . . . . . . . 9 ((𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
15 0ss 3963 . . . . . . . . . . . . 13 ∅ ⊆ ∅
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ∅ ⊆ ∅)
174biimpac 503 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) = ∅)
1810a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom ∅ = ∅)
1916, 17, 183sstr4d 3640 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅)
2019iftrued 4085 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
21 zre 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐿 ∈ ℤ → 𝐿 ∈ ℝ)
22 zre 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 ∈ ℤ → 𝐹 ∈ ℝ)
23 lenlt 10101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (𝐿𝐹 ↔ ¬ 𝐹 < 𝐿))
2423bicomd 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐹 ∈ ℝ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
2521, 22, 24syl2anr 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿𝐿𝐹))
26 fzo0n 12474 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (𝐿𝐹 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2725, 26bitrd 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (¬ 𝐹 < 𝐿 ↔ (0..^(𝐿𝐹)) = ∅))
2827biimpac 503 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (0..^(𝐿𝐹)) = ∅)
2928mpteq1d 4729 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
3029dmeqd 5315 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))))
31 ral0 4067 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V
32 dmmptg 5620 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥 ∈ ∅ (∅‘(𝑥 + 𝐹)) ∈ V → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3331, 32mp1i 13 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ ∅ ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3430, 33eqtrd 2654 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
35 mptrel 5237 . . . . . . . . . . . 12 Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹)))
36 reldm0 5332 . . . . . . . . . . . 12 (Rel (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3735, 36mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → ((𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅ ↔ dom (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅))
3834, 37mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))) = ∅)
3920, 38eqtrd 2654 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝐹 < 𝐿 ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
4014, 39pm2.61ian 830 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
41403adant1 1077 . . . . . . 7 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → if((𝐹..^𝐿) ⊆ dom ∅, (𝑥 ∈ (0..^(𝐿𝐹)) ↦ (∅‘(𝑥 + 𝐹))), ∅) = ∅)
423, 41eqtrd 2654 . . . . . 6 ((∅ ∈ V ∧ 𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
43423expb 1264 . . . . 5 ((∅ ∈ V ∧ (𝐹 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
442, 43sylan2b 492 . . . 4 ((∅ ∈ V ∧ ⟨𝐹, 𝐿⟩ ∈ (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
451, 44sylbi 207 . . 3 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ (V × (ℤ × ℤ)) → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
46 df-substr 13286 . . . 4 substr = (𝑠 ∈ V, 𝑏 ∈ (ℤ × ℤ) ↦ if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅))
47 ovex 6663 . . . . . 6 (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ∈ V
4847mptex 6471 . . . . 5 (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))) ∈ V
49 0ex 4781 . . . . 5 ∅ ∈ V
5048, 49ifex 4147 . . . 4 if(((1st𝑏)..^(2nd𝑏)) ⊆ dom 𝑠, (𝑧 ∈ (0..^((2nd𝑏) − (1st𝑏))) ↦ (𝑠‘(𝑧 + (1st𝑏)))), ∅) ∈ V
5146, 50dmmpt2 7225 . . 3 dom substr = (V × (ℤ × ℤ))
5245, 51eleq2s 2717 . 2 (⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
53 df-ov 6638 . . 3 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩)
54 ndmfv 6205 . . 3 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → ( substr ‘⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩) = ∅)
5553, 54syl5eq 2666 . 2 (¬ ⟨∅, ⟨𝐹, 𝐿⟩⟩ ∈ dom substr → (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅)
5652, 55pm2.61i 176 1 (∅ substr ⟨𝐹, 𝐿⟩) = ∅
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 196  wa 384  w3a 1036   = wceq 1481  wcel 1988  wral 2909  Vcvv 3195  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  cop 4174   class class class wbr 4644  cmpt 4720   × cxp 5102  dom cdm 5104  Rel wrel 5109  cfv 5876  (class class class)co 6635  1st c1st 7151  2nd c2nd 7152  cr 9920  0cc0 9921   + caddc 9924   < clt 10059  cle 10060  cmin 10251  cz 11362  ..^cfzo 12449   substr csubstr 13278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-nn 11006  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-substr 13286
This theorem is referenced by:  cshword  13518  pfx0  41150  cshword2  41202
  Copyright terms: Public domain W3C validator