MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrun Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrun 12184
Description: The supremum of the union of two sets of extended reals equals the largest of their suprema. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrun ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → sup((𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))

Proof of Theorem supxrun
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unss 3820 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ↔ (𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
21biimpi 206 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
323adant3 1101 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝐴𝐵) ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12183 . . 3 (𝐵 ⊆ ℝ* → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
543ad2ant2 1103 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
6 elun 3786 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ↔ (𝑥𝐴𝑥𝐵))
7 xrltso 12012 . . . . . . . . 9 < Or ℝ*
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
9 xrsupss 12177 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → ∃𝑦 ∈ ℝ* (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑤𝐴 𝑧 < 𝑤)))
108, 9supub 8406 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
11103ad2ant1 1102 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
12 supxrcl 12183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
1312ad2antrr 762 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
144ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
15 ssel2 3631 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
1615adantlr 751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
17 xrlelttr 12025 . . . . . . . . . . . 12 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
1813, 14, 16, 17syl3anc 1366 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) → ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
1918expdimp 452 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥 → sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥))
2019con3d 148 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ*) ∧ 𝑥𝐴) ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
2120exp41 637 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ⊆ ℝ* → (𝑥𝐴 → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)))))
2221com34 91 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (𝐵 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < ) → (𝑥𝐴 → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)))))
23223imp 1275 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐴 → (¬ sup(𝐴, ℝ*, < ) < 𝑥 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)))
2411, 23mpdd 43 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐴 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
257a1i 11 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → < Or ℝ*)
26 xrsupss 12177 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑦 ∈ ℝ* (∀𝑧𝐵 ¬ 𝑦 < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑦 → ∃𝑤𝐵 𝑧 < 𝑤)))
2725, 26supub 8406 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ* → (𝑥𝐵 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
28273ad2ant2 1103 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥𝐵 → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
2924, 28jaod 394 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵) → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
306, 29syl5bi 232 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → (𝑥 ∈ (𝐴𝐵) → ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥))
3130ralrimiv 2994 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥)
32 rexr 10123 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
33 xrsupss 12177 . . . . . . . 8 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∃𝑥 ∈ ℝ* (∀𝑧𝐵 ¬ 𝑥 < 𝑧 ∧ ∀𝑧 ∈ ℝ* (𝑧 < 𝑥 → ∃𝑦𝐵 𝑧 < 𝑦)))
3425, 33suplub 8407 . . . . . . 7 (𝐵 ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ*𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))
3532, 34sylani 687 . . . . . 6 (𝐵 ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦))
36 elun2 3814 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (𝐴𝐵))
3736anim1i 591 . . . . . . 7 ((𝑦𝐵𝑥 < 𝑦) → (𝑦 ∈ (𝐴𝐵) ∧ 𝑥 < 𝑦))
3837reximi2 3039 . . . . . 6 (∃𝑦𝐵 𝑥 < 𝑦 → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦)
3935, 38syl6 35 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ℝ* → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))
4039expd 451 . . . 4 (𝐵 ⊆ ℝ* → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦)))
4140ralrimiv 2994 . . 3 (𝐵 ⊆ ℝ* → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))
42413ad2ant2 1103 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))
43 supxr 12181 . 2 ((((𝐴𝐵) ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐵, ℝ*, < ) ∈ ℝ*) ∧ (∀𝑥 ∈ (𝐴𝐵) ¬ sup(𝐵, ℝ*, < ) < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (𝑥 < sup(𝐵, ℝ*, < ) → ∃𝑦 ∈ (𝐴𝐵)𝑥 < 𝑦))) → sup((𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
443, 5, 31, 42, 43syl22anc 1367 1 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝐵 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≤ sup(𝐵, ℝ*, < )) → sup((𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(𝐵, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 382  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wral 2941  wrex 2942  cun 3605  wss 3607   class class class wbr 4685   Or wor 5063  supcsup 8387  cr 9973  *cxr 10111   < clt 10112  cle 10113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307
This theorem is referenced by:  supxrmnf  12185  xpsdsval  22233
  Copyright terms: Public domain W3C validator