Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  supxrleubrnmptf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrleubrnmptf 39993
 Description: The supremum of a nonempty bounded indexed set of extended reals is less than or equal to an upper bound. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
supxrleubrnmptf.x 𝑥𝜑
supxrleubrnmptf.a 𝑥𝐴
supxrleubrnmptf.n 𝑥𝐶
supxrleubrnmptf.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
supxrleubrnmptf.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
supxrleubrnmptf (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))

Proof of Theorem supxrleubrnmptf
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supxrleubrnmptf.a . . . . . . 7 𝑥𝐴
2 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑦𝐴
3 nfcv 2793 . . . . . . 7 𝑦𝐵
4 nfcsb1v 3582 . . . . . . 7 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
5 csbeq1a 3575 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
61, 2, 3, 4, 5cbvmptf 4781 . . . . . 6 (𝑥𝐴𝐵) = (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
76rneqi 5384 . . . . 5 ran (𝑥𝐴𝐵) = ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵)
87supeq1i 8394 . . . 4 sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < )
98breq1i 4692 . . 3 (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶)
109a1i 11 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶))
11 nfv 1883 . . 3 𝑦𝜑
12 supxrleubrnmptf.x . . . . . 6 𝑥𝜑
131nfcri 2787 . . . . . 6 𝑥 𝑦𝐴
1412, 13nfan 1868 . . . . 5 𝑥(𝜑𝑦𝐴)
154nfel1 2808 . . . . 5 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*
1614, 15nfim 1865 . . . 4 𝑥((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*)
17 eleq1 2718 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
1817anbi2d 740 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐴) ↔ (𝜑𝑦𝐴)))
195eleq1d 2715 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵 ∈ ℝ*𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*))
2018, 19imbi12d 333 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*) ↔ ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*)))
21 supxrleubrnmptf.b . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2216, 20, 21chvar 2298 . . 3 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ*)
23 supxrleubrnmptf.c . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
2411, 22, 23supxrleubrnmpt 39945 . 2 (𝜑 → (sup(ran (𝑦𝐴𝑦 / 𝑥𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝐶))
25 nfcv 2793 . . . . 5 𝑥
26 supxrleubrnmptf.n . . . . 5 𝑥𝐶
274, 25, 26nfbr 4732 . . . 4 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵𝐶
28 nfv 1883 . . . 4 𝑦 𝐵𝐶
29 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑦𝑦 = 𝑥)
3029imbi1i 338 . . . . . . 7 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵))
31 eqcom 2658 . . . . . . . 8 (𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
3231imbi2i 325 . . . . . . 7 ((𝑦 = 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
3330, 32bitri 264 . . . . . 6 ((𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵))
345, 33mpbi 220 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝐵)
3534breq1d 4695 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦 / 𝑥𝐵𝐶𝐵𝐶))
362, 1, 27, 28, 35cbvralf 3195 . . 3 (∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
3736a1i 11 . 2 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 𝑦 / 𝑥𝐵𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
3810, 24, 373bitrd 294 1 (𝜑 → (sup(ran (𝑥𝐴𝐵), ℝ*, < ) ≤ 𝐶 ↔ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   = wceq 1523  Ⅎwnf 1748   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780  ∀wral 2941  ⦋csb 3566   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762  ran crn 5144  supcsup 8387  ℝ*cxr 10111   < clt 10112   ≤ cle 10113 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-po 5064  df-so 5065  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307 This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  40325
 Copyright terms: Public domain W3C validator