Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supxrbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supxrbnd 12372
 Description: The supremum of a bounded-above nonempty set of reals is real. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
supxrbnd ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)

Proof of Theorem supxrbnd
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ressxr 10296 . . . . 5 ℝ ⊆ ℝ*
2 sstr 3753 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℝ*) → 𝐴 ⊆ ℝ*)
31, 2mpan2 709 . . . 4 (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ⊆ ℝ*)
4 supxrcl 12359 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
5 pnfxr 10305 . . . . . . . . . 10 +∞ ∈ ℝ*
6 xrltne 12208 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
75, 6mp3an2 1561 . . . . . . . . 9 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → +∞ ≠ sup(𝐴, ℝ*, < ))
87necomd 2988 . . . . . . . 8 ((sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞)
98ex 449 . . . . . . 7 (sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
104, 9syl 17 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
11 supxrunb2 12364 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞))
12 ssel2 3740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
1312adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ ℝ*)
14 rexr 10298 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
1514ad2antlr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 xrlenlt 10316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑦𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝑦))
1716con2bid 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ℝ*) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1813, 15, 17syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑥))
1918rexbidva 3188 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥))
20 rexnal 3134 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑦𝐴 ¬ 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2119, 20syl6bb 276 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ⊆ ℝ*𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2221ralbidva 3124 . . . . . . . . 9 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦𝐴 𝑥 < 𝑦 ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2311, 22bitr3d 270 . . . . . . . 8 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
24 ralnex 3131 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
2523, 24syl6bb 276 . . . . . . 7 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) = +∞ ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2625necon2abid 2975 . . . . . 6 (𝐴 ⊆ ℝ* → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥 ↔ sup(𝐴, ℝ*, < ) ≠ +∞))
2710, 26sylibrd 249 . . . . 5 (𝐴 ⊆ ℝ* → (sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞ → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
2827imp 444 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℝ* ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
293, 28sylan 489 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
30293adant2 1126 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)
31 supxrre 12371 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) = sup(𝐴, ℝ, < ))
32 suprcl 11196 . . 3 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
3331, 32eqeltrd 2840 . 2 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
3430, 33syld3an3 1516 1 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ sup(𝐴, ℝ*, < ) < +∞) → sup(𝐴, ℝ*, < ) ∈ ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 383   ∧ w3a 1072   = wceq 1632   ∈ wcel 2140   ≠ wne 2933  ∀wral 3051  ∃wrex 3052   ⊆ wss 3716  ∅c0 4059   class class class wbr 4805  supcsup 8514  ℝcr 10148  +∞cpnf 10284  ℝ*cxr 10286   < clt 10287   ≤ cle 10288 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-cnex 10205  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482 This theorem is referenced by:  supxrgtmnf  12373  ovolunlem1  23486  uniioombllem1  23570
 Copyright terms: Public domain W3C validator