MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supsr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supsr 9971
Description: A nonempty, bounded set of signed reals has a supremum. (Contributed by NM, 21-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supsr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supsr
Dummy variables 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 n0 3964 . . 3 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑢 𝑢𝐴)
2 ltrelsr 9927 . . . . . . . . . . . . 13 <R ⊆ (R × R)
32brel 5202 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 <R 𝑥 → (𝑦R𝑥R))
43simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 <R 𝑥𝑦R)
54ralimi 2981 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦R)
6 dfss3 3625 . . . . . . . . . 10 (𝐴R ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦R)
75, 6sylibr 224 . . . . . . . . 9 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥𝐴R)
87sseld 3635 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢𝐴𝑢R))
98rexlimivw 3058 . . . . . . 7 (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → (𝑢𝐴𝑢R))
109impcom 445 . . . . . 6 ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → 𝑢R)
11 eleq1 2718 . . . . . . . . 9 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → (𝑢𝐴 ↔ if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴))
1211anbi1d 741 . . . . . . . 8 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) ↔ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥)))
1312imbi1d 330 . . . . . . 7 (𝑢 = if(𝑢R, 𝑢, 1R) → (((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))) ↔ ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))))
14 opeq1 4433 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑤 → ⟨𝑣, 1P⟩ = ⟨𝑤, 1P⟩)
1514eceq1d 7826 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑤 → [⟨𝑣, 1P⟩] ~R = [⟨𝑤, 1P⟩] ~R )
1615oveq2d 6706 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑤 → (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) = (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ))
1716eleq1d 2715 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑤 → ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴 ↔ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴))
1817cbvabv 2776 . . . . . . . 8 {𝑣 ∣ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑣, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴} = {𝑤 ∣ (if(𝑢R, 𝑢, 1R) +R [⟨𝑤, 1P⟩] ~R ) ∈ 𝐴}
19 1sr 9940 . . . . . . . . 9 1RR
2019elimel 4183 . . . . . . . 8 if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ R
2118, 20supsrlem 9970 . . . . . . 7 ((if(𝑢R, 𝑢, 1R) ∈ 𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
2213, 21dedth 4172 . . . . . 6 (𝑢R → ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2310, 22mpcom 38 . . . . 5 ((𝑢𝐴 ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
2423ex 449 . . . 4 (𝑢𝐴 → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2524exlimiv 1898 . . 3 (∃𝑢 𝑢𝐴 → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
261, 25sylbi 207 . 2 (𝐴 ≠ ∅ → (∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧))))
2726imp 444 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥R𝑦𝐴 𝑦 <R 𝑥) → ∃𝑥R (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <R 𝑦 ∧ ∀𝑦R (𝑦 <R 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 <R 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wex 1744  wcel 2030  {cab 2637  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948  ifcif 4119  cop 4216   class class class wbr 4685  (class class class)co 6690  [cec 7785  1Pc1p 9720   ~R cer 9724  Rcnr 9725  1Rc1r 9727   +R cplr 9729   <R cltr 9731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ec 7789  df-qs 7793  df-ni 9732  df-pli 9733  df-mi 9734  df-lti 9735  df-plpq 9768  df-mpq 9769  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-erq 9773  df-plq 9774  df-mq 9775  df-1nq 9776  df-rq 9777  df-ltnq 9778  df-np 9841  df-1p 9842  df-plp 9843  df-mp 9844  df-ltp 9845  df-enr 9915  df-nr 9916  df-plr 9917  df-mr 9918  df-ltr 9919  df-0r 9920  df-1r 9921  df-m1r 9922
This theorem is referenced by:  axpre-sup  10028
  Copyright terms: Public domain W3C validator