Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suprzcl2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprzcl2 11816
 Description: The supremum of a bounded-above set of integers is a member of the set. (This version of suprzcl 11495 avoids ax-pre-sup 10052.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Dec-2016.)
Assertion
Ref Expression
suprzcl2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem suprzcl2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsupss 11815 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)))
2 ssel2 3631 . . . . . . 7 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℤ)
32zred 11520 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
4 ltso 10156 . . . . . . . . . 10 < Or ℝ
54a1i 11 . . . . . . . . 9 (⊤ → < Or ℝ)
65eqsup 8403 . . . . . . . 8 (⊤ → ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
76trud 1533 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥)
873expib 1287 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
93, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥))
10 simpr 476 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
11 eleq1 2718 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴𝑥𝐴))
1210, 11syl5ibrcom 237 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → (sup(𝐴, ℝ, < ) = 𝑥 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
139, 12syld 47 . . . 4 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝑥𝐴) → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
1413rexlimdva 3060 . . 3 (𝐴 ⊆ ℤ → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
15143ad2ant1 1102 . 2 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦 < 𝑧)) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴))
161, 15mpd 15 1 ((𝐴 ⊆ ℤ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ 𝐴)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1054   = wceq 1523  ⊤wtru 1524   ∈ wcel 2030   ≠ wne 2823  ∀wral 2941  ∃wrex 2942   ⊆ wss 3607  ∅c0 3948   class class class wbr 4685   Or wor 5063  supcsup 8387  ℝcr 9973   < clt 10112   ≤ cle 10113  ℤcz 11415 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-sup 8389  df-inf 8390  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-nn 11059  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726 This theorem is referenced by:  suprzub  11817  gcdcllem3  15270  maxprmfct  15468  pcprecl  15591  prmreclem1  15667  0ram  15771  0ramcl  15774  gexex  18302
 Copyright terms: Public domain W3C validator