Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  suprnmpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suprnmpt 39771
Description: An explicit bound for the range of a bounded function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suprnmpt.a (𝜑𝐴 ≠ ∅)
suprnmpt.b ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
suprnmpt.bnd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
suprnmpt.f 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
suprnmpt.c 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
suprnmpt (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑦,𝐹   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑦)   𝐵(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem suprnmpt
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 suprnmpt.c . . 3 𝐶 = sup(ran 𝐹, ℝ, < )
2 suprnmpt.b . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
32ralrimiva 3068 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
4 suprnmpt.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥𝐴𝐵)
54rnmptss 6507 . . . . 5 (∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ ℝ → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
63, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
7 nfv 1956 . . . . 5 𝑥𝜑
8 nfmpt1 4855 . . . . . . . 8 𝑥(𝑥𝐴𝐵)
94, 8nfcxfr 2864 . . . . . . 7 𝑥𝐹
109nfrn 5475 . . . . . 6 𝑥ran 𝐹
11 nfcv 2866 . . . . . 6 𝑥
1210, 11nfne 2996 . . . . 5 𝑥ran 𝐹 ≠ ∅
13 suprnmpt.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
14 n0 4039 . . . . . 6 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
1513, 14sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐴)
16 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
174elrnmpt1 5481 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
1816, 2, 17syl2anc 696 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ∈ ran 𝐹)
19 ne0i 4029 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ran 𝐹 → ran 𝐹 ≠ ∅)
2018, 19syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ≠ ∅)
217, 12, 15, 20exlimdd 2199 . . . 4 (𝜑 → ran 𝐹 ≠ ∅)
22 suprnmpt.bnd . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
23 nfv 1956 . . . . . 6 𝑦𝜑
24 nfre1 3107 . . . . . 6 𝑦𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦
25 simp2 1129 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 simpl1 1204 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝜑)
27 simpl3 1208 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦)
28 vex 3307 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧 ∈ V
294elrnmpt 5479 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ V → (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵))
3028, 29ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3130biimpi 206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ran 𝐹 → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
3231adantl 473 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
33 simp3 1130 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
34 nfra1 3043 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝐵𝑦
35 nfre1 3107 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑥𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵
367, 34, 35nf3an 1944 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥(𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵)
37 nfv 1956 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥 𝑧𝑦
38 simp3 1130 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧 = 𝐵)
39 rspa 3032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴) → 𝐵𝑦)
40393adant3 1124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝐵𝑦)
4138, 40eqbrtrd 4782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑦𝑥𝐴𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
42413exp 1112 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
43423ad2ant2 1126 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (𝑥𝐴 → (𝑧 = 𝐵𝑧𝑦)))
4436, 37, 43rexlimd 3128 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → (∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵𝑧𝑦))
4533, 44mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 ∧ ∃𝑥𝐴 𝑧 = 𝐵) → 𝑧𝑦)
4626, 27, 32, 45syl3anc 1439 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) ∧ 𝑧 ∈ ran 𝐹) → 𝑧𝑦)
4746ralrimiva 3068 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
48 19.8a 2163 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
4925, 47, 48syl2anc 696 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
50 df-rex 3020 . . . . . . . 8 (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5149, 50sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
52513exp 1112 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → (∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)))
5323, 24, 52rexlimd 3128 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑦 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦))
5422, 53mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
55 suprcl 11096 . . . 4 ((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
566, 21, 54, 55syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → sup(ran 𝐹, ℝ, < ) ∈ ℝ)
571, 56syl5eqel 2807 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
586adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
5954adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦)
60 suprub 11097 . . . . 5 (((ran 𝐹 ⊆ ℝ ∧ ran 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑧 ∈ ran 𝐹 𝑧𝑦) ∧ 𝐵 ∈ ran 𝐹) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6158, 20, 59, 18, 60syl31anc 1442 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵 ≤ sup(ran 𝐹, ℝ, < ))
6261, 1syl6breqr 4802 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐵𝐶)
6362ralrimiva 3068 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶)
6457, 63jca 555 1 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1596  wex 1817  wcel 2103  wne 2896  wral 3014  wrex 3015  Vcvv 3304  wss 3680  c0 4023   class class class wbr 4760  cmpt 4837  ran crn 5219  supcsup 8462  cr 10048   < clt 10187  cle 10188
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126  ax-pre-sup 10127
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-id 5128  df-po 5139  df-so 5140  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-sup 8464  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1lem1  40566  ioodvbdlimc1lem2  40567  ioodvbdlimc2lem  40569
  Copyright terms: Public domain W3C validator