MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppssfifsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppssfifsupp 8447
Description: If the support of a function is a subset of a finite set, the function is finitely supported. (Contributed by AV, 15-Jul-2019.)
Assertion
Ref Expression
suppssfifsupp (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)

Proof of Theorem suppssfifsupp
StepHypRef Expression
1 ssfi 8337 . . 3 ((𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
21adantl 473 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin)
3 3ancoma 1084 . . . . 5 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ↔ (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
43biimpi 206 . . . 4 ((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
54adantr 472 . . 3 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊))
6 funisfsupp 8437 . . 3 ((Fun 𝐺𝐺𝑉𝑍𝑊) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
75, 6syl 17 . 2 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → (𝐺 finSupp 𝑍 ↔ (𝐺 supp 𝑍) ∈ Fin))
82, 7mpbird 247 1 (((𝐺𝑉 ∧ Fun 𝐺𝑍𝑊) ∧ (𝐹 ∈ Fin ∧ (𝐺 supp 𝑍) ⊆ 𝐹)) → 𝐺 finSupp 𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2131  wss 3707   class class class wbr 4796  Fun wfun 6035  (class class class)co 6805   supp csupp 7455  Fincfn 8113   finSupp cfsupp 8432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-ral 3047  df-rex 3048  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-ov 6808  df-om 7223  df-er 7903  df-en 8114  df-fin 8117  df-fsupp 8433
This theorem is referenced by:  fsuppsssupp  8448  fsfnn0gsumfsffz  18571  mptscmfsupp0  19122  psrass1lem  19571  psrlidm  19597  psrridm  19598  psrass1  19599  psrass23l  19602  psrcom  19603  psrass23  19604  mplsubrglem  19633  mplsubrg  19634  mvrcl  19643  mplmon  19657  mplmonmul  19658  mplcoe1  19659  mplcoe5  19662  mplbas2  19664  psrbagev1  19704  evlslem2  19706  evlslem6  19707  evlslem3  19708  psropprmul  19802  coe1mul2  19833  uvcff  20324  uvcresum  20326  frlmup1  20331  plypf1  24159  tayl0  24307  lincresunit2  42769
  Copyright terms: Public domain W3C validator