MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suppss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suppss2 7374
Description: Show that the support of a function is contained in a set. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Mar-2015.) (Revised by AV, 28-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
suppss2.n ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
suppss2.a (𝜑𝐴𝑉)
Assertion
Ref Expression
suppss2 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑊   𝑘,𝑍
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem suppss2
StepHypRef Expression
1 eqid 2651 . . . . 5 (𝑘𝐴𝐵) = (𝑘𝐴𝐵)
2 suppss2.a . . . . . 6 (𝜑𝐴𝑉)
32adantl 481 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴𝑉)
4 simpl 472 . . . . 5 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝑍 ∈ V)
51, 3, 4mptsuppdifd 7362 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = {𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})})
6 eldifsni 4353 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝐵𝑍)
7 eldif 3617 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝐴𝑊) ↔ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊))
8 suppss2.n . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
98adantll 750 . . . . . . . . . 10 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (𝐴𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
107, 9sylan2br 492 . . . . . . . . 9 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ (𝑘𝐴 ∧ ¬ 𝑘𝑊)) → 𝐵 = 𝑍)
1110expr 642 . . . . . . . 8 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (¬ 𝑘𝑊𝐵 = 𝑍))
1211necon1ad 2840 . . . . . . 7 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵𝑍𝑘𝑊))
136, 12syl5 34 . . . . . 6 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍}) → 𝑘𝑊))
14133impia 1280 . . . . 5 (((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) ∧ 𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})) → 𝑘𝑊)
1514rabssdv 3715 . . . 4 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → {𝑘𝐴𝐵 ∈ (V ∖ {𝑍})} ⊆ 𝑊)
165, 15eqsstrd 3672 . . 3 ((𝑍 ∈ V ∧ 𝜑) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
1716ex 449 . 2 (𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
18 id 22 . . . . . 6 𝑍 ∈ V → ¬ 𝑍 ∈ V)
1918intnand 982 . . . . 5 𝑍 ∈ V → ¬ ((𝑘𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V))
20 supp0prc 7343 . . . . 5 (¬ ((𝑘𝐴𝐵) ∈ V ∧ 𝑍 ∈ V) → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = ∅)
2119, 20syl 17 . . . 4 𝑍 ∈ V → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) = ∅)
22 0ss 4005 . . . 4 ∅ ⊆ 𝑊
2321, 22syl6eqss 3688 . . 3 𝑍 ∈ V → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
2423a1d 25 . 2 𝑍 ∈ V → (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊))
2517, 24pm2.61i 176 1 (𝜑 → ((𝑘𝐴𝐵) supp 𝑍) ⊆ 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  {crab 2945  Vcvv 3231  cdif 3604  wss 3607  c0 3948  {csn 4210  cmpt 4762  (class class class)co 6690   supp csupp 7340
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-nul 3949  df-if 4120  df-sn 4211  df-pr 4213  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-id 5053  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-supp 7341
This theorem is referenced by:  suppsssn  7375  fsuppmptif  8346  sniffsupp  8356  cantnflem1d  8623  cantnflem1  8624  gsumzsplit  18373  gsummpt1n0  18410  gsum2dlem1  18415  gsum2dlem2  18416  gsum2d  18417  dprdfid  18462  dprdfinv  18464  dprdfadd  18465  dmdprdsplitlem  18482  dpjidcl  18503  psrbagaddcl  19418  psrlidm  19451  psrridm  19452  mplsubrg  19488  mplmon  19511  mplmonmul  19512  mplcoe1  19513  mplcoe5  19516  mplbas2  19518  evlslem4  19556  evlslem2  19560  evlslem3  19562  evlslem1  19563  coe1tmmul2  19694  coe1tmmul  19695  uvcff  20178  uvcresum  20180  tsmssplit  22002  coe1mul3  23904  plypf1  24013  tayl0  24161  suppss2f  29567  suppss3  29630
  Copyright terms: Public domain W3C validator