Theorem supp0 7456

Description: The support of the empty set is the empty set. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
supp0	⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (∅ supp 𝑍) = ∅)

Proof of Theorem supp0

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 4930	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		suppval 7453	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ V ∧ 𝑍 ∈ 𝑊) → (∅ supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
3	1, 2	mpan 708	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (∅ supp 𝑍) = {𝑖 ∈ dom ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
4		dm0 5482	. . 3 ⊢ dom ∅ = ∅
5		rabeq 3320	. . 3 ⊢ (dom ∅ = ∅ → {𝑖 ∈ dom ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
6	4, 5	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → {𝑖 ∈ dom ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = {𝑖 ∈ ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}})
7		rab0 4086	. . 3 ⊢ {𝑖 ∈ ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = ∅
8	7	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → {𝑖 ∈ ∅ ∣ (∅ “ {𝑖}) ≠ {𝑍}} = ∅)
9	3, 6, 8	3eqtrd 2786	1 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑊 → (∅ supp 𝑍) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1620   ∈ wcel 2127   ≠ wne 2920  {crab 3042  Vcvv 3328  ∅c0 4046  {csn 4309  dom cdm 5254   “ cima 5257  (class class class)co 6801   supp csupp 7451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pr 5043  ax-un 7102

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-nul 4047  df-if 4219  df-sn 4310  df-pr 4312  df-op 4316  df-uni 4577  df-br 4793  df-opab 4853  df-id 5162  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-supp 7452

This theorem is referenced by:  0fsupp  8450  gsumval3  18479