MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supmullem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supmullem2 11207
Description: Lemma for supmul 11208. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmullem2 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑤,𝑧   𝑥,𝐶,𝑤   𝜑,𝑏,𝑤,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmullem2
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 3344 . . . . 5 𝑤 ∈ V
2 oveq1 6822 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
32eqeq2d 2771 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
43rexbidv 3191 . . . . . . 7 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
54cbvrexv 3312 . . . . . 6 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
6 eqeq1 2765 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
762rexbidv 3196 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
85, 7syl5bb 272 . . . . 5 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
9 supmul.1 . . . . 5 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
101, 8, 9elab2 3495 . . . 4 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
11 supmul.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
1211simp2bi 1141 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
1312simp1d 1137 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
1413sseld 3744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑎𝐴𝑎 ∈ ℝ))
1511simp3bi 1142 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
1615simp1d 1137 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1716sseld 3744 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵𝑏 ∈ ℝ))
1814, 17anim12d 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ)))
19 remulcl 10234 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
2018, 19syl6 35 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ))
21 eleq1a 2835 . . . . . 6 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
2220, 21syl6 35 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑎𝐴𝑏𝐵) → (𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ)))
2322rexlimdvv 3176 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ∈ ℝ))
2410, 23syl5bi 232 . . 3 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ∈ ℝ))
2524ssrdv 3751 . 2 (𝜑𝐶 ⊆ ℝ)
2612simp2d 1138 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
2715simp2d 1138 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
28 ovex 6843 . . . . . . . . . 10 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
2928isseti 3350 . . . . . . . . 9 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
3029rgenw 3063 . . . . . . . 8 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
31 r19.2z 4205 . . . . . . . 8 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3227, 30, 31sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
33 rexcom4 3366 . . . . . . 7 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3432, 33sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3534ralrimivw 3106 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
36 r19.2z 4205 . . . . 5 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3726, 35, 36syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
38 rexcom4 3366 . . . 4 (∃𝑎𝐴𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
3937, 38sylib 208 . . 3 (𝜑 → ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
40 n0 4075 . . . 4 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤 𝑤𝐶)
4110exbii 1923 . . . 4 (∃𝑤 𝑤𝐶 ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
4240, 41bitri 264 . . 3 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑤𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
4339, 42sylibr 224 . 2 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
44 suprcl 11196 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4512, 44syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
46 suprcl 11196 . . . . 5 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4715, 46syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4845, 47remulcld 10283 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
499, 11supmullem1 11206 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
50 breq2 4809 . . . . 5 (𝑥 = (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5150ralbidv 3125 . . . 4 (𝑥 = (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) → (∀𝑤𝐶 𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
5251rspcev 3450 . . 3 (((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5348, 49, 52syl2anc 696 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥)
5425, 43, 533jca 1123 1 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1632  wex 1853  wcel 2140  {cab 2747  wne 2933  wral 3051  wrex 3052  wss 3716  c0 4059   class class class wbr 4805  (class class class)co 6815  supcsup 8514  cr 10148  0cc0 10149   · cmul 10154   < clt 10287  cle 10288
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1989  ax-6 2055  ax-7 2091  ax-8 2142  ax-9 2149  ax-10 2169  ax-11 2184  ax-12 2197  ax-13 2392  ax-ext 2741  ax-sep 4934  ax-nul 4942  ax-pow 4993  ax-pr 5056  ax-un 7116  ax-resscn 10206  ax-1cn 10207  ax-icn 10208  ax-addcl 10209  ax-addrcl 10210  ax-mulcl 10211  ax-mulrcl 10212  ax-mulcom 10213  ax-addass 10214  ax-mulass 10215  ax-distr 10216  ax-i2m1 10217  ax-1ne0 10218  ax-1rid 10219  ax-rnegex 10220  ax-rrecex 10221  ax-cnre 10222  ax-pre-lttri 10223  ax-pre-lttrn 10224  ax-pre-ltadd 10225  ax-pre-mulgt0 10226  ax-pre-sup 10227
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2048  df-eu 2612  df-mo 2613  df-clab 2748  df-cleq 2754  df-clel 2757  df-nfc 2892  df-ne 2934  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3343  df-sbc 3578  df-csb 3676  df-dif 3719  df-un 3721  df-in 3723  df-ss 3730  df-nul 4060  df-if 4232  df-pw 4305  df-sn 4323  df-pr 4325  df-op 4329  df-uni 4590  df-br 4806  df-opab 4866  df-mpt 4883  df-id 5175  df-po 5188  df-so 5189  df-xp 5273  df-rel 5274  df-cnv 5275  df-co 5276  df-dm 5277  df-rn 5278  df-res 5279  df-ima 5280  df-iota 6013  df-fun 6052  df-fn 6053  df-f 6054  df-f1 6055  df-fo 6056  df-f1o 6057  df-fv 6058  df-riota 6776  df-ov 6818  df-oprab 6819  df-mpt2 6820  df-er 7914  df-en 8125  df-dom 8126  df-sdom 8127  df-sup 8516  df-pnf 10289  df-mnf 10290  df-xr 10291  df-ltxr 10292  df-le 10293  df-sub 10481  df-neg 10482
This theorem is referenced by:  supmul  11208  sqrlem5  14207
  Copyright terms: Public domain W3C validator