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Theorem supmul 11179
Description: The supremum function distributes over multiplication, in the sense that (sup𝐴) · (sup𝐵) = sup(𝐴 · 𝐵), where 𝐴 · 𝐵 is shorthand for {𝑎 · 𝑏𝑎𝐴, 𝑏𝐵} and is defined as 𝐶 below. We made use of this in our definition of multiplication in the Dedekind cut construction of the reals (see df-mp 9990). (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jul-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
supmul.1 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
supmul.2 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
Assertion
Ref Expression
supmul (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝐵,𝑏,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶   𝜑,𝑏,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑣)   𝐶(𝑦,𝑧,𝑣,𝑏)

Proof of Theorem supmul
Dummy variables 𝑎 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 supmul.2 . . . . . . 7 (𝜑 ↔ ((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
21simp2bi 1140 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥))
3 suprcl 11167 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ)
51simp3bi 1141 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
6 suprcl 11167 . . . . . 6 ((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
75, 6syl 17 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
8 recn 10210 . . . . . 6 (sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ)
9 recn 10210 . . . . . 6 (sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ)
10 mulcom 10206 . . . . . 6 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
118, 9, 10syl2an 495 . . . . 5 ((sup(𝐴, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
124, 7, 11syl2anc 696 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )))
135simp2d 1137 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ ∅)
14 n0 4066 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑏 𝑏𝐵)
1513, 14sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑏 𝑏𝐵)
16 0red 10225 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ∈ ℝ)
175simp1d 1136 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ⊆ ℝ)
1817sselda 3736 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
197adantr 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
20 simp1r 1238 . . . . . . . . . 10 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
211, 20sylbi 207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
22 breq2 4800 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑏 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑏))
2322rspccv 3438 . . . . . . . . 9 (∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2421, 23syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑏𝐵 → 0 ≤ 𝑏))
2524imp 444 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ 𝑏)
26 suprub 11168 . . . . . . . 8 (((𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
275, 26sylan 489 . . . . . . 7 ((𝜑𝑏𝐵) → 𝑏 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2816, 18, 19, 25, 27letrd 10378 . . . . . 6 ((𝜑𝑏𝐵) → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
2915, 28exlimddv 2004 . . . . 5 (𝜑 → 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ))
30 simp1l 1237 . . . . . 6 (((∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
311, 30sylbi 207 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥)
32 eqid 2752 . . . . . 6 {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} = {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}
33 biid 251 . . . . . 6 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) ↔ ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)))
3432, 33supmul1 11176 . . . . 5 (((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ sup(𝐵, ℝ, < ) ∧ ∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐴 𝑦𝑥)) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
357, 29, 31, 2, 34syl31anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐵, ℝ, < ) · sup(𝐴, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
3612, 35eqtrd 2786 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ))
37 vex 3335 . . . . . . 7 𝑤 ∈ V
38 eqeq1 2756 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
3938rexbidv 3182 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)))
4037, 39elab 3482 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ↔ ∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
417adantr 472 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ)
422simp1d 1136 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
4342sselda 3736 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → 𝑎 ∈ ℝ)
44 recn 10210 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
45 mulcom 10206 . . . . . . . . . . 11 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
469, 44, 45syl2an 495 . . . . . . . . . 10 ((sup(𝐵, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℝ) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
4741, 43, 46syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) = (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )))
48 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑎 → (0 ≤ 𝑥 ↔ 0 ≤ 𝑎))
4948rspccv 3438 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑥𝐴 0 ≤ 𝑥 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5031, 49syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑎𝐴 → 0 ≤ 𝑎))
5150imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → 0 ≤ 𝑎)
5221adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥)
535adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥))
54 eqid 2752 . . . . . . . . . . . 12 {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} = {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}
55 biid 251 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) ↔ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)))
5654, 55supmul1 11176 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑎 ∧ ∀𝑥𝐵 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝐵 ⊆ ℝ ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦𝐵 𝑦𝑥)) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
5743, 51, 52, 53, 56syl31anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ))
58 eqeq1 2756 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
5958rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6037, 59elab 3482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ↔ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
61 rspe 3133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
62 oveq1 6812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑣 = 𝑎 → (𝑣 · 𝑏) = (𝑎 · 𝑏))
6362eqeq2d 2762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣 = 𝑎 → (𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6463rexbidv 3182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣 = 𝑎 → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)))
6564cbvrexv 3303 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
66582rexbidv 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
6765, 66syl5bb 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = 𝑤 → (∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏) ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)))
68 supmul.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = {𝑧 ∣ ∃𝑣𝐴𝑏𝐵 𝑧 = (𝑣 · 𝑏)}
6937, 67, 68elab2 3486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶 ↔ ∃𝑎𝐴𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
7061, 69sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎𝐴 ∧ ∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → 𝑤𝐶)
7170ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎𝐴 → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤𝐶))
7268, 1supmullem2 11178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥))
73 suprub 11168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7473ex 449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑤𝐶𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7671, 75sylan9r 693 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7760, 76syl5bi 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
7877ralrimiv 3095 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
7943adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑎 ∈ ℝ)
8018adantlr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → 𝑏 ∈ ℝ)
8179, 80remulcld 10254 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ)
82 eleq1a 2826 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 · 𝑏) ∈ ℝ → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑎𝐴) ∧ 𝑏𝐵) → (𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8483rexlimdva 3161 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → (∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) → 𝑧 ∈ ℝ))
8584abssdv 3809 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ)
86 ovex 6833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 · 𝑏) ∈ V
8786isseti 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
8887rgenw 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)
89 r19.2z 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏)) → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9013, 88, 89sylancl 697 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
91 rexcom4 3357 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∃𝑏𝐵𝑤 𝑤 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9290, 91sylib 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9359cbvexv 2412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏) ↔ ∃𝑤𝑏𝐵 𝑤 = (𝑎 · 𝑏))
9492, 93sylibr 224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
95 abn0 4089 . . . . . . . . . . . . . 14 ({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏))
9694, 95sylibr 224 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅)
98 suprcl 11167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9972, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
10099adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑎𝐴) → sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ)
101 breq2 4800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (𝑤𝑥𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
102101ralbidv 3116 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
103102rspcev 3441 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
104100, 78, 103syl2anc 696 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑎𝐴) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥)
105 suprleub 11173 . . . . . . . . . . . 12 ((({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10685, 97, 104, 100, 105syl31anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
10778, 106mpbird 247 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑎𝐴) → sup({𝑧 ∣ ∃𝑏𝐵 𝑧 = (𝑎 · 𝑏)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10857, 107eqbrtrd 4818 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑎 · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
10947, 108eqbrtrd 4818 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
110 breq1 4799 . . . . . . . 8 (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → (𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
111109, 110syl5ibrcom 237 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
112111rexlimdva 3161 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑤 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
11340, 112syl5bi 232 . . . . 5 (𝜑 → (𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} → 𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
114113ralrimiv 3095 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
11541, 43remulcld 10254 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑎𝐴) → (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ)
116 eleq1a 2826 . . . . . . . 8 ((sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ ℝ → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
117115, 116syl 17 . . . . . . 7 ((𝜑𝑎𝐴) → (𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
118117rexlimdva 3161 . . . . . 6 (𝜑 → (∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) → 𝑧 ∈ ℝ))
119118abssdv 3809 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ)
1202simp2d 1137 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ≠ ∅)
121 ovex 6833 . . . . . . . . . 10 (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ∈ V
122121isseti 3341 . . . . . . . . 9 𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
123122rgenw 3054 . . . . . . . 8 𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)
124 r19.2z 4196 . . . . . . . 8 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∀𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)) → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
125120, 123, 124sylancl 697 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
126 rexcom4 3357 . . . . . . 7 (∃𝑎𝐴𝑧 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎) ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
127125, 126sylib 208 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
128 abn0 4089 . . . . . 6 ({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ↔ ∃𝑧𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎))
129127, 128sylibr 224 . . . . 5 (𝜑 → {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅)
130101ralbidv 3116 . . . . . . 7 (𝑥 = sup(𝐶, ℝ, < ) → (∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
131130rspcev 3441 . . . . . 6 ((sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
13299, 114, 131syl2anc 696 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥)
133 suprleub 11173 . . . . 5 ((({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ⊆ ℝ ∧ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)} ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤𝑥) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
134119, 129, 132, 99, 133syl31anc 1476 . . . 4 (𝜑 → (sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}𝑤 ≤ sup(𝐶, ℝ, < )))
135114, 134mpbird 247 . . 3 (𝜑 → sup({𝑧 ∣ ∃𝑎𝐴 𝑧 = (sup(𝐵, ℝ, < ) · 𝑎)}, ℝ, < ) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13636, 135eqbrtrd 4818 . 2 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ))
13768, 1supmullem1 11177 . . 3 (𝜑 → ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
1384, 7remulcld 10254 . . . 4 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ)
139 suprleub 11173 . . . 4 (((𝐶 ⊆ ℝ ∧ 𝐶 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑤𝐶 𝑤𝑥) ∧ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ∈ ℝ) → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
14072, 138, 139syl2anc 696 . . 3 (𝜑 → (sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ↔ ∀𝑤𝐶 𝑤 ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < ))))
141137, 140mpbird 247 . 2 (𝜑 → sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))
142138, 99letri3d 10363 . 2 (𝜑 → ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ) ↔ ((sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) ≤ sup(𝐶, ℝ, < ) ∧ sup(𝐶, ℝ, < ) ≤ (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )))))
143136, 141, 142mpbir2and 995 1 (𝜑 → (sup(𝐴, ℝ, < ) · sup(𝐵, ℝ, < )) = sup(𝐶, ℝ, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072   = wceq 1624  wex 1845  wcel 2131  {cab 2738  wne 2924  wral 3042  wrex 3043  wss 3707  c0 4050   class class class wbr 4796  (class class class)co 6805  supcsup 8503  cc 10118  cr 10119  0cc0 10120   · cmul 10125   < clt 10258  cle 10259
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197  ax-pre-sup 10198
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rmo 3050  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-op 4320  df-uni 4581  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-id 5166  df-po 5179  df-so 5180  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-sup 8505  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-div 10869
This theorem is referenced by:  sqrlem5  14178
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