MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  suplem2pr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem suplem2pr 10038
Description: The union of a set of positive reals (if a positive real) is its supremum (the least upper bound). Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
suplem2pr (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem suplem2pr
StepHypRef Expression
1 ltrelpr 9983 . . . . . 6 <P ⊆ (P × P)
21brel 5313 . . . . 5 (𝑦<P 𝐴 → (𝑦P 𝐴P))
32simpld 477 . . . 4 (𝑦<P 𝐴𝑦P)
4 ralnex 3118 . . . . . . . . 9 (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)
5 ssel2 3727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴P𝑧𝐴) → 𝑧P)
6 ltsopr 10017 . . . . . . . . . . . . . . . 16 <P Or P
7 sotric 5201 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((<P Or P ∧ (𝑦P𝑧P)) → (𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦)))
86, 7mpan 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦<P 𝑧 ↔ ¬ (𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦)))
98con2bid 343 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦P𝑧P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ ¬ 𝑦<P 𝑧))
109ancoms 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ ¬ 𝑦<P 𝑧))
11 ltprord 10015 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧P𝑦P) → (𝑧<P 𝑦𝑧𝑦))
1211orbi2d 740 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦)))
13 sspss 3836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝑦 ↔ (𝑧𝑦𝑧 = 𝑦))
14 equcom 2088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = 𝑦𝑦 = 𝑧)
1514orbi2i 542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑦𝑧 = 𝑦) ↔ (𝑧𝑦𝑦 = 𝑧))
16 orcom 401 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧𝑦𝑦 = 𝑧) ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦))
1713, 15, 163bitri 286 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑦 ↔ (𝑦 = 𝑧𝑧𝑦))
1812, 17syl6bbr 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧P𝑦P) → ((𝑦 = 𝑧𝑧<P 𝑦) ↔ 𝑧𝑦))
1910, 18bitr3d 270 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧P𝑦P) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
205, 19sylan 489 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴P𝑧𝐴) ∧ 𝑦P) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
2120an32s 881 . . . . . . . . . 10 (((𝐴P𝑦P) ∧ 𝑧𝐴) → (¬ 𝑦<P 𝑧𝑧𝑦))
2221ralbidva 3111 . . . . . . . . 9 ((𝐴P𝑦P) → (∀𝑧𝐴 ¬ 𝑦<P 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
234, 22syl5bbr 274 . . . . . . . 8 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦))
24 unissb 4609 . . . . . . . 8 ( 𝐴𝑦 ↔ ∀𝑧𝐴 𝑧𝑦)
2523, 24syl6bbr 278 . . . . . . 7 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 𝐴𝑦))
26 ssnpss 3840 . . . . . . . 8 ( 𝐴𝑦 → ¬ 𝑦 𝐴)
27 ltprord 10015 . . . . . . . . . 10 ((𝑦P 𝐴P) → (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴))
2827biimpd 219 . . . . . . . . 9 ((𝑦P 𝐴P) → (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴))
292, 28mpcom 38 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝐴𝑦 𝐴)
3026, 29nsyl 135 . . . . . . 7 ( 𝐴𝑦 → ¬ 𝑦<P 𝐴)
3125, 30syl6bi 243 . . . . . 6 ((𝐴P𝑦P) → (¬ ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧 → ¬ 𝑦<P 𝐴))
3231con4d 114 . . . . 5 ((𝐴P𝑦P) → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
3332ex 449 . . . 4 (𝐴P → (𝑦P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
343, 33syl5 34 . . 3 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
3534pm2.43d 53 . 2 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
36 elssuni 4607 . . . 4 (𝑦𝐴𝑦 𝐴)
37 ssnpss 3840 . . . 4 (𝑦 𝐴 → ¬ 𝐴𝑦)
3836, 37syl 17 . . 3 (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴𝑦)
391brel 5313 . . . 4 ( 𝐴<P 𝑦 → ( 𝐴P𝑦P))
40 ltprord 10015 . . . . 5 (( 𝐴P𝑦P) → ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦))
4140biimpd 219 . . . 4 (( 𝐴P𝑦P) → ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦))
4239, 41mpcom 38 . . 3 ( 𝐴<P 𝑦 𝐴𝑦)
4338, 42nsyl 135 . 2 (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦)
4435, 43jctil 561 1 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383  wcel 2127  wral 3038  wrex 3039  wss 3703  wpss 3704   cuni 4576   class class class wbr 4792   Or wor 5174  Pcnp 9844  <P cltp 9848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1859  ax-4 1874  ax-5 1976  ax-6 2042  ax-7 2078  ax-8 2129  ax-9 2136  ax-10 2156  ax-11 2171  ax-12 2184  ax-13 2379  ax-ext 2728  ax-sep 4921  ax-nul 4929  ax-pow 4980  ax-pr 5043  ax-un 7102
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1623  df-ex 1842  df-nf 1847  df-sb 2035  df-eu 2599  df-mo 2600  df-clab 2735  df-cleq 2741  df-clel 2744  df-nfc 2879  df-ne 2921  df-ral 3043  df-rex 3044  df-reu 3045  df-rmo 3046  df-rab 3047  df-v 3330  df-sbc 3565  df-csb 3663  df-dif 3706  df-un 3708  df-in 3710  df-ss 3717  df-pss 3719  df-nul 4047  df-if 4219  df-pw 4292  df-sn 4310  df-pr 4312  df-tp 4314  df-op 4316  df-uni 4577  df-iun 4662  df-br 4793  df-opab 4853  df-mpt 4870  df-tr 4893  df-id 5162  df-eprel 5167  df-po 5175  df-so 5176  df-fr 5213  df-we 5215  df-xp 5260  df-rel 5261  df-cnv 5262  df-co 5263  df-dm 5264  df-rn 5265  df-res 5266  df-ima 5267  df-pred 5829  df-ord 5875  df-on 5876  df-lim 5877  df-suc 5878  df-iota 6000  df-fun 6039  df-fn 6040  df-f 6041  df-f1 6042  df-fo 6043  df-f1o 6044  df-fv 6045  df-ov 6804  df-oprab 6805  df-mpt2 6806  df-om 7219  df-1st 7321  df-2nd 7322  df-wrecs 7564  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-oadd 7721  df-omul 7722  df-er 7899  df-ni 9857  df-mi 9859  df-lti 9860  df-ltpq 9895  df-enq 9896  df-nq 9897  df-ltnq 9903  df-np 9966  df-ltp 9970
This theorem is referenced by:  supexpr  10039
  Copyright terms: Public domain W3C validator