MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supfil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supfil 21898
Description: The supersets of a nonempty set which are also subsets of a given base set form a filter. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 7-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
supfil ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem supfil
Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq2 3766 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝐵𝑥𝐵𝑦))
21elrab 3502 . . . 4 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦))
3 selpw 4307 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
43anbi1i 733 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑦) ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
52, 4bitri 264 . . 3 (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦))
65a1i 11 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → (𝑦 ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ↔ (𝑦𝐴𝐵𝑦)))
7 elex 3350 . . 3 (𝐴𝑉𝐴 ∈ V)
873ad2ant1 1128 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ V)
9 simp2 1132 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → 𝐵𝐴)
10 sseq2 3766 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (𝐵𝑦𝐵𝐴))
1110sbcieg 3607 . . . 4 (𝐴 ∈ V → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
128, 11syl 17 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ([𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝐴))
139, 12mpbird 247 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → [𝐴 / 𝑦]𝐵𝑦)
14 ss0 4115 . . . . 5 (𝐵 ⊆ ∅ → 𝐵 = ∅)
1514necon3ai 2955 . . . 4 (𝐵 ≠ ∅ → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
16153ad2ant3 1130 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ 𝐵 ⊆ ∅)
17 0ex 4940 . . . 4 ∅ ∈ V
18 sseq2 3766 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅))
1917, 18sbcie 3609 . . 3 ([∅ / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ ∅)
2016, 19sylnibr 318 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → ¬ [∅ / 𝑦]𝐵𝑦)
21 sstr 3750 . . . . 5 ((𝐵𝑤𝑤𝑧) → 𝐵𝑧)
2221expcom 450 . . . 4 (𝑤𝑧 → (𝐵𝑤𝐵𝑧))
23 vex 3341 . . . . 5 𝑤 ∈ V
24 sseq2 3766 . . . . 5 (𝑦 = 𝑤 → (𝐵𝑦𝐵𝑤))
2523, 24sbcie 3609 . . . 4 ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑤)
26 vex 3341 . . . . 5 𝑧 ∈ V
27 sseq2 3766 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → (𝐵𝑦𝐵𝑧))
2826, 27sbcie 3609 . . . 4 ([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦𝐵𝑧)
2922, 25, 283imtr4g 285 . . 3 (𝑤𝑧 → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
30293ad2ant3 1130 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝑧) → ([𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦))
31 ssin 3976 . . . . . 6 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) ↔ 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3231biimpi 206 . . . . 5 ((𝐵𝑧𝐵𝑤) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3328, 25, 32syl2anb 497 . . . 4 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → 𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3426inex1 4949 . . . . 5 (𝑧𝑤) ∈ V
35 sseq2 3766 . . . . 5 (𝑦 = (𝑧𝑤) → (𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤)))
3634, 35sbcie 3609 . . . 4 ([(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦𝐵 ⊆ (𝑧𝑤))
3733, 36sylibr 224 . . 3 (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦)
3837a1i 11 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) ∧ 𝑧𝐴𝑤𝐴) → (([𝑧 / 𝑦]𝐵𝑦[𝑤 / 𝑦]𝐵𝑦) → [(𝑧𝑤) / 𝑦]𝐵𝑦))
396, 8, 13, 20, 30, 38isfild 21861 1 ((𝐴𝑉𝐵𝐴𝐵 ≠ ∅) → {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑥} ∈ (Fil‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1072  wcel 2137  wne 2930  {crab 3052  Vcvv 3338  [wsbc 3574  cin 3712  wss 3713  c0 4056  𝒫 cpw 4300  cfv 6047  Filcfil 21848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1986  ax-6 2052  ax-7 2088  ax-8 2139  ax-9 2146  ax-10 2166  ax-11 2181  ax-12 2194  ax-13 2389  ax-ext 2738  ax-sep 4931  ax-nul 4939  ax-pow 4990  ax-pr 5053
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3an 1074  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2045  df-eu 2609  df-mo 2610  df-clab 2745  df-cleq 2751  df-clel 2754  df-nfc 2889  df-ne 2931  df-nel 3034  df-ral 3053  df-rex 3054  df-rab 3057  df-v 3340  df-sbc 3575  df-csb 3673  df-dif 3716  df-un 3718  df-in 3720  df-ss 3727  df-nul 4057  df-if 4229  df-pw 4302  df-sn 4320  df-pr 4322  df-op 4326  df-uni 4587  df-br 4803  df-opab 4863  df-mpt 4880  df-id 5172  df-xp 5270  df-rel 5271  df-cnv 5272  df-co 5273  df-dm 5274  df-rn 5275  df-res 5276  df-ima 5277  df-iota 6010  df-fun 6049  df-fv 6055  df-fbas 19943  df-fil 21849
This theorem is referenced by:  fclscf  22028  flimfnfcls  22031
  Copyright terms: Public domain W3C validator