MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supexpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supexpr 9914
Description: The union of a nonempty, bounded set of positive reals has a supremum. Part of Proposition 9-3.3 of [Gleason] p. 122. (Contributed by NM, 19-May-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
supexpr ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem supexpr
StepHypRef Expression
1 suplem1pr 9912 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
2 ltrelpr 9858 . . . . . . . . 9 <P ⊆ (P × P)
32brel 5202 . . . . . . . 8 (𝑦<P 𝑥 → (𝑦P𝑥P))
43simpld 474 . . . . . . 7 (𝑦<P 𝑥𝑦P)
54ralimi 2981 . . . . . 6 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥 → ∀𝑦𝐴 𝑦P)
6 dfss3 3625 . . . . . 6 (𝐴P ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦P)
75, 6sylibr 224 . . . . 5 (∀𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
87rexlimivw 3058 . . . 4 (∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥𝐴P)
98adantl 481 . . 3 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → 𝐴P)
10 suplem2pr 9913 . . . . . 6 (𝐴P → ((𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦) ∧ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
1110simpld 474 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦𝐴 → ¬ 𝐴<P 𝑦))
1211ralrimiv 2994 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦)
1310simprd 478 . . . . 5 (𝐴P → (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1413ralrimivw 2996 . . . 4 (𝐴P → ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))
1512, 14jca 553 . . 3 (𝐴P → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
169, 15syl 17 . 2 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
17 breq1 4688 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥<P 𝑦 𝐴<P 𝑦))
1817notbid 307 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ¬ 𝐴<P 𝑦))
1918ralbidv 3015 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ↔ ∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦))
20 breq2 4689 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦<P 𝑥𝑦<P 𝐴))
2120imbi1d 330 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2221ralbidv 3015 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧) ↔ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
2319, 22anbi12d 747 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → ((∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))))
2423rspcev 3340 . 2 (( 𝐴P ∧ (∀𝑦𝐴 ¬ 𝐴<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝐴 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧))) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
251, 16, 24syl2anc 694 1 ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥P𝑦𝐴 𝑦<P 𝑥) → ∃𝑥P (∀𝑦𝐴 ¬ 𝑥<P 𝑦 ∧ ∀𝑦P (𝑦<P 𝑥 → ∃𝑧𝐴 𝑦<P 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wral 2941  wrex 2942  wss 3607  c0 3948   cuni 4468   class class class wbr 4685  Pcnp 9719  <P cltp 9723
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-ni 9732  df-mi 9734  df-lti 9735  df-ltpq 9770  df-enq 9771  df-nq 9772  df-ltnq 9778  df-np 9841  df-ltp 9845
This theorem is referenced by:  supsrlem  9970
  Copyright terms: Public domain W3C validator