MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  supex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem supex 8485
Description: A supremum is a set. (Contributed by NM, 22-May-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
supex.1 𝑅 Or 𝐴
Assertion
Ref Expression
supex sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V

Proof of Theorem supex
StepHypRef Expression
1 supex.1 . 2 𝑅 Or 𝐴
2 id 22 . . 3 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
32supexd 8475 . 2 (𝑅 Or 𝐴 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V)
41, 3ax-mp 5 1 sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2103  Vcvv 3304   Or wor 5138  supcsup 8462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pr 5011  ax-un 7066
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ral 3019  df-rex 3020  df-rmo 3022  df-rab 3023  df-v 3306  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-nul 4024  df-if 4195  df-sn 4286  df-pr 4288  df-op 4292  df-uni 4545  df-br 4761  df-po 5139  df-so 5140  df-sup 8464
This theorem is referenced by:  limsupgval  14327  limsupgre  14332  gcdval  15341  pczpre  15675  prmreclem1  15743  prdsdsfn  16248  prdsdsval  16261  xrge0tsms2  22760  mbfsup  23551  mbfinf  23552  itg2val  23615  itg2monolem1  23637  itg2mono  23640  mdegval  23943  mdegxrf  23948  plyeq0lem  24086  dgrval  24104  nmooval  27848  nmopval  28945  nmfnval  28965  lmdvg  30229  esumval  30338  erdszelem3  31403  erdszelem6  31406  gtinfOLD  32541  supcnvlimsup  40392  limsuplt2  40405  liminfval  40411  limsupge  40413  liminflelimsuplem  40427  fourierdlem79  40822  sge0val  41003  sge0tsms  41017  smflimsuplem1  41449  smflimsuplem2  41450  smflimsuplem4  41452
  Copyright terms: Public domain W3C validator