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Theorem superpos 29341
Description: Superposition Principle. If 𝐴 and 𝐵 are distinct atoms, there exists a third atom, distinct from 𝐴 and 𝐵, that is the superposition of 𝐴 and 𝐵. Definition 3.4-3(a) in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 9-Jun-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
superpos ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem superpos
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 atom1d 29340 . . 3 (𝐴 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})))
2 atom1d 29340 . . 3 (𝐵 ∈ HAtoms ↔ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧})))
3 reeanv 3136 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ (∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))))
4 an4 882 . . . . . 6 (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) ↔ ((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))))
5 neeq1 2885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ 𝐵))
6 neeq2 2886 . . . . . . . . . 10 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{𝑦}) ≠ 𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
75, 6sylan9bb 736 . . . . . . . . 9 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
87adantl 481 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 ↔ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})))
9 hvaddcl 27997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
109adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ)
11 hvaddeq0 28054 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0𝑦 = (-1 · 𝑧)))
12 sneq 4220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → {𝑦} = {(-1 · 𝑧)})
1312fveq2d 6233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{(-1 · 𝑧)}))
14 neg1cn 11162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ∈ ℂ
15 neg1ne0 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -1 ≠ 0
16 spansncol 28555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ -1 ≠ 0) → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1714, 15, 16mp3an23 1456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (span‘{(-1 · 𝑧)}) = (span‘{𝑧}))
1813, 17sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 = (-1 · 𝑧)) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
1918ex 449 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 = (-1 · 𝑧) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2111, 20sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) = 0 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
2221necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0))
2322imp 444 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (𝑦 + 𝑧) ≠ 0)
24 spansna 29337 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ ∧ (𝑦 + 𝑧) ≠ 0) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2510, 23, 24syl2anc 694 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2625adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
2726adantlr 751 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms)
28 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
2928biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = (span‘{𝑦}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦})))
30 spansneleqi 28556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
319, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦})))
32 elspansn 28553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
3332adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
34 addcl 10056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3514, 34mpan2 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑣 ∈ ℂ → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
3635ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
37 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3837ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
3938adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ)
40 simpll 805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℋ)
41 simplr 807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → 𝑧 ∈ ℋ)
42 hvsubadd 28062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4339, 40, 41, 42syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)))
4443biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = 𝑧)
45 hvsubval 28001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑣 · 𝑦) ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4637, 45sylancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
47 ax-hvdistr2 27994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4814, 47mp3an2 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑦) = ((𝑣 · 𝑦) + (-1 · 𝑦)))
4946, 48eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5049ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5150adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5251adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ((𝑣 · 𝑦) − 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5344, 52eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
54 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑦) = ((𝑣 + -1) · 𝑦))
5554eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑧 = (𝑤 · 𝑦) ↔ 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦)))
5655rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑧 = ((𝑣 + -1) · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5736, 53, 56syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))
5857exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦))))
5958rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑦) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6033, 59sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6131, 60syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
62 elspansn 28553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℋ → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6362adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑧 = (𝑤 · 𝑦)))
6461, 63sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
6564adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → 𝑧 ∈ (span‘{𝑦})))
66 spansneleq 28557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦})))
67 eqcom 2658 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((span‘{𝑧}) = (span‘{𝑦}) ↔ (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧}))
6866, 67syl6ib 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
6968adantlr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → (𝑧 ∈ (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7065, 69syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑦}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7129, 70sylan9r 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐴 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
7271necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7372adantlrl 756 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐴 = (span‘{𝑦})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7473adantrr 753 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
7574imp 444 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴)
76 eqeq2 2662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
7776biimpd 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐵 = (span‘{𝑧}) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧})))
78 spansneleqi 28556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 + 𝑧) ∈ ℋ → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
799, 78syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧})))
80 elspansn 28553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑧 ∈ ℋ → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
8235ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → (𝑣 + -1) ∈ ℂ)
83 hvmulcl 27998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8483ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
8584adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ)
86 hvsubadd 28062 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ∈ ℋ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
8785, 41, 40, 86syl3anc 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
88 ax-hvcom 27986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
8988adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑧 + 𝑦))
9089eqeq1d 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) ↔ (𝑧 + 𝑦) = (𝑣 · 𝑧)))
9187, 90bitr4d 271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦 ↔ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)))
9291biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = 𝑦)
93 hvsubval 28001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝑣 · 𝑧) ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9483, 93sylancom 702 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
95 ax-hvdistr2 27994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9614, 95mp3an2 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 + -1) · 𝑧) = ((𝑣 · 𝑧) + (-1 · 𝑧)))
9794, 96eqtr4d 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9897ancoms 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
9998adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
10099adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ((𝑣 · 𝑧) − 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
10192, 100eqtr3d 2687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
102 oveq1 6697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑤 · 𝑧) = ((𝑣 + -1) · 𝑧))
103102eqeq2d 2661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑤 = (𝑣 + -1) → (𝑦 = (𝑤 · 𝑧) ↔ 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧)))
104103rspcev 3340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑣 + -1) ∈ ℂ ∧ 𝑦 = ((𝑣 + -1) · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
10582, 101, 104syl2anc 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑣 ∈ ℂ) ∧ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧)) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))
106105exp31 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑣 ∈ ℂ → ((𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧))))
107106rexlimdv 3059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (∃𝑣 ∈ ℂ (𝑦 + 𝑧) = (𝑣 · 𝑧) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10881, 107sylbid 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((𝑦 + 𝑧) ∈ (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
10979, 108syld 47 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
110 elspansn 28553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℋ → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) ↔ ∃𝑤 ∈ ℂ 𝑦 = (𝑤 · 𝑧)))
112109, 111sylibrd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
113112adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → 𝑦 ∈ (span‘{𝑧})))
114 spansneleq 28557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℋ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
115114adantll 750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑦 ∈ (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
116113, 115syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = (span‘{𝑧}) → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
11777, 116sylan9r 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) = 𝐵 → (span‘{𝑦}) = (span‘{𝑧})))
118117necon3d 2844 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ 𝑦 ≠ 0) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
119118adantlrr 757 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
120119adantrl 752 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
121120imp 444 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵)
122 spanpr 28567 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
123122adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (span‘{𝑦, 𝑧}))
124 oveq12 6699 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧})) → (𝐴 𝐵) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
125 df-pr 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 {𝑦, 𝑧} = ({𝑦} ∪ {𝑧})
126125fveq2i 6232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (span‘{𝑦, 𝑧}) = (span‘({𝑦} ∪ {𝑧}))
127 snssi 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℋ → {𝑦} ⊆ ℋ)
128 snssi 4371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ ℋ → {𝑧} ⊆ ℋ)
129 spanun 28532 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑦} ⊆ ℋ ∧ {𝑧} ⊆ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
130127, 128, 129syl2an 493 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘({𝑦} ∪ {𝑧})) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
131126, 130syl5eq 2697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (span‘{𝑦, 𝑧}) = ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})))
132 spansnch 28547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℋ → (span‘{𝑦}) ∈ C )
133 spansnj 28634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((span‘{𝑦}) ∈ C𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
134132, 133sylan 487 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) + (span‘{𝑧})) = ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})))
135131, 134eqtr2d 2686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → ((span‘{𝑦}) ∨ (span‘{𝑧})) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
136124, 135sylan9eqr 2707 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴 𝐵) = (span‘{𝑦, 𝑧}))
137123, 136sseqtr4d 3675 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
138137adantlr 751 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
139138adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))
140 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐴 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴))
141 neeq1 2885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥𝐵 ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵))
142 sseq1 3659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → (𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵) ↔ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵)))
143140, 141, 1423anbi123d 1439 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) → ((𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)) ↔ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))))
144143rspcev 3340 . . . . . . . . . 10 (((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ∈ HAtoms ∧ ((span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐴 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ≠ 𝐵 ∧ (span‘{(𝑦 + 𝑧)}) ⊆ (𝐴 𝐵))) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
14527, 75, 121, 139, 144syl13anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) ∧ (span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧})) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
146145ex 449 . . . . . . . 8 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → ((span‘{𝑦}) ≠ (span‘{𝑧}) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1478, 146sylbid 230 . . . . . . 7 ((((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) ∧ (𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0)) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
148147expl 647 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝑧 ≠ 0) ∧ (𝐴 = (span‘{𝑦}) ∧ 𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
1494, 148syl5bi 232 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℋ ∧ 𝑧 ∈ ℋ) → (((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))))
150149rexlimivv 3065 . . . 4 (∃𝑦 ∈ ℋ ∃𝑧 ∈ ℋ ((𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1513, 150sylbir 225 . . 3 ((∃𝑦 ∈ ℋ (𝑦 ≠ 0𝐴 = (span‘{𝑦})) ∧ ∃𝑧 ∈ ℋ (𝑧 ≠ 0𝐵 = (span‘{𝑧}))) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1521, 2, 151syl2anb 495 . 2 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms) → (𝐴𝐵 → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵))))
1531523impia 1280 1 ((𝐴 ∈ HAtoms ∧ 𝐵 ∈ HAtoms ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑥 ∈ HAtoms (𝑥𝐴𝑥𝐵𝑥 ⊆ (𝐴 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 383  w3a 1054   = wceq 1523  wcel 2030  wne 2823  wrex 2942  cun 3605  wss 3607  {csn 4210  {cpr 4212  cfv 5926  (class class class)co 6690  cc 9972  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977  -cneg 10305  chil 27904   + cva 27905   · csm 27906  0c0v 27909   cmv 27910   C cch 27914   + cph 27916  spancspn 27917   chj 27918  HAtomscat 27950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cc 9295  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052  ax-addf 10053  ax-mulf 10054  ax-hilex 27984  ax-hfvadd 27985  ax-hvcom 27986  ax-hvass 27987  ax-hv0cl 27988  ax-hvaddid 27989  ax-hfvmul 27990  ax-hvmulid 27991  ax-hvmulass 27992  ax-hvdistr1 27993  ax-hvdistr2 27994  ax-hvmul0 27995  ax-hfi 28064  ax-his1 28067  ax-his2 28068  ax-his3 28069  ax-his4 28070  ax-hcompl 28187
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-iin 4555  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-of 6939  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-supp 7341  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-2o 7606  df-oadd 7609  df-omul 7610  df-er 7787  df-map 7901  df-pm 7902  df-ixp 7951  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-fsupp 8317  df-fi 8358  df-sup 8389  df-inf 8390  df-oi 8456  df-card 8803  df-acn 8806  df-cda 9028  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-4 11119  df-5 11120  df-6 11121  df-7 11122  df-8 11123  df-9 11124  df-n0 11331  df-z 11416  df-dec 11532  df-uz 11726  df-q 11827  df-rp 11871  df-xneg 11984  df-xadd 11985  df-xmul 11986  df-ioo 12217  df-ico 12219  df-icc 12220  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-fl 12633  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-rlim 14264  df-sum 14461  df-struct 15906  df-ndx 15907  df-slot 15908  df-base 15910  df-sets 15911  df-ress 15912  df-plusg 16001  df-mulr 16002  df-starv 16003  df-sca 16004  df-vsca 16005  df-ip 16006  df-tset 16007  df-ple 16008  df-ds 16011  df-unif 16012  df-hom 16013  df-cco 16014  df-rest 16130  df-topn 16131  df-0g 16149  df-gsum 16150  df-topgen 16151  df-pt 16152  df-prds 16155  df-xrs 16209  df-qtop 16214  df-imas 16215  df-xps 16217  df-mre 16293  df-mrc 16294  df-acs 16296  df-mgm 17289  df-sgrp 17331  df-mnd 17342  df-submnd 17383  df-mulg 17588  df-cntz 17796  df-cmn 18241  df-psmet 19786  df-xmet 19787  df-met 19788  df-bl 19789  df-mopn 19790  df-fbas 19791  df-fg 19792  df-cnfld 19795  df-top 20747  df-topon 20764  df-topsp 20785  df-bases 20798  df-cld 20871  df-ntr 20872  df-cls 20873  df-nei 20950  df-cn 21079  df-cnp 21080  df-lm 21081  df-haus 21167  df-tx 21413  df-hmeo 21606  df-fil 21697  df-fm 21789  df-flim 21790  df-flf 21791  df-xms 22172  df-ms 22173  df-tms 22174  df-cfil 23099  df-cau 23100  df-cmet 23101  df-grpo 27475  df-gid 27476  df-ginv 27477  df-gdiv 27478  df-ablo 27527  df-vc 27542  df-nv 27575  df-va 27578  df-ba 27579  df-sm 27580  df-0v 27581  df-vs 27582  df-nmcv 27583  df-ims 27584  df-dip 27684  df-ssp 27705  df-ph 27796  df-cbn 27847  df-hnorm 27953  df-hba 27954  df-hvsub 27956  df-hlim 27957  df-hcau 27958  df-sh 28192  df-ch 28206  df-oc 28237  df-ch0 28238  df-shs 28295  df-span 28296  df-chj 28297  df-pjh 28382  df-cv 29266  df-at 29325
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