Theorem supcnvlimsupmpt 40494

Description: If a function on a set of upper integers has a real superior limit, the supremum of the rightmost parts of the function, converges to that superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt.j	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
supcnvlimsupmpt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
supcnvlimsupmpt.z	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
supcnvlimsupmpt.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
supcnvlimsupmpt.r	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
supcnvlimsupmpt	⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑗,𝑍,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗)   𝑀(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem supcnvlimsupmpt

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (ℤ≥‘𝑘) = (ℤ≥‘𝑛))
2	1	mpteq1d 4890	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
3	2	rneqd 5508	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵) = ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
4	3	supeq1d 8519	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
5	4	cbvmptv 4902	. . 3 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ))
6		supcnvlimsupmpt.z	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
7	6	uzssd3 40169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ 𝑍 → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
8	7	adantl 473	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (ℤ≥‘𝑛) ⊆ 𝑍)
9	8	resmptd 5610	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)) = (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵))
10	9	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
11	10	rneqd 5508	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵) = ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)))
12	11	supeq1d 8519	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ 𝑍) → sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < ) = sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < ))
13	12	mpteq2dva 4896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑛) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
14	5, 13	syl5eq 2806	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) = (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )))
15		supcnvlimsupmpt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
16		supcnvlimsupmpt.j	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
17		supcnvlimsupmpt.b	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
18	16, 17	fmptd2f 39959	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵):𝑍⟶ℝ)
19		supcnvlimsupmpt.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)) ∈ ℝ)
20	15, 6, 18, 19	supcnvlimsup 40493	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran ((𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵) ↾ (ℤ≥‘𝑛)), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))
21	14, 20	eqbrtrd 4826	1 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑍 ↦ sup(ran (𝑗 ∈ (ℤ≥‘𝑘) ↦ 𝐵), ℝ*, < )) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ 𝑍 ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1632  Ⅎwnf 1857   ∈ wcel 2139   ⊆ wss 3715   class class class wbr 4804   ↦ cmpt 4881  ran crn 5267   ↾ cres 5268  ‘cfv 6049  supcsup 8513  ℝcr 10147  ℝ^*cxr 10285   < clt 10286  ℤcz 11589  ℤ_≥cuz 11899  lim supclsp 14420   ⇝ cli 14434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7115  ax-cnex 10204  ax-resscn 10205  ax-1cn 10206  ax-icn 10207  ax-addcl 10208  ax-addrcl 10209  ax-mulcl 10210  ax-mulrcl 10211  ax-mulcom 10212  ax-addass 10213  ax-mulass 10214  ax-distr 10215  ax-i2m1 10216  ax-1ne0 10217  ax-1rid 10218  ax-rnegex 10219  ax-rrecex 10220  ax-cnre 10221  ax-pre-lttri 10222  ax-pre-lttrn 10223  ax-pre-ltadd 10224  ax-pre-mulgt0 10225  ax-pre-sup 10226

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-riota 6775  df-ov 6817  df-oprab 6818  df-mpt2 6819  df-om 7232  df-1st 7334  df-2nd 7335  df-wrecs 7577  df-recs 7638  df-rdg 7676  df-1o 7730  df-oadd 7734  df-er 7913  df-en 8124  df-dom 8125  df-sdom 8126  df-fin 8127  df-sup 8515  df-inf 8516  df-pnf 10288  df-mnf 10289  df-xr 10290  df-ltxr 10291  df-le 10292  df-sub 10480  df-neg 10481  df-div 10897  df-nn 11233  df-2 11291  df-3 11292  df-n0 11505  df-z 11590  df-uz 11900  df-rp 12046  df-ico 12394  df-fz 12540  df-fl 12807  df-ceil 12808  df-seq 13016  df-exp 13075  df-cj 14058  df-re 14059  df-im 14060  df-sqrt 14194  df-abs 14195  df-limsup 14421  df-clim 14438

This theorem is referenced by:  smflimsuplem5  41554