MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumz 14434
Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
sumz ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz
Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2620 . . . . 5 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2 simpr 477 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 simpl 473 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑀))
4 c0ex 10019 . . . . . . . 8 0 ∈ V
54fvconst2 6454 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6 ifid 4116 . . . . . . 7 if(𝑘𝐴, 0, 0) = 0
75, 6syl6eqr 2672 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ𝑀) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
87adantl 482 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)) → (((ℤ𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘𝐴, 0, 0))
9 0cnd 10018 . . . . 5 (((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
101, 2, 3, 8, 9zsum 14430 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))))
11 fclim 14265 . . . . . 6 ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12 ffun 6035 . . . . . 6 ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 Fun ⇝
14 serclim0 14289 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
1514adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16 funbrfv 6221 . . . . 5 (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0))
1713, 15, 16mpsyl 68 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ𝑀) × {0}))) = 0)
1810, 17eqtrd 2654 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
19 uzf 11675 . . . . . . . . 9 :ℤ⟶𝒫 ℤ
2019fdmi 6039 . . . . . . . 8 dom ℤ = ℤ
2120eleq2i 2691 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ dom ℤ𝑀 ∈ ℤ)
22 ndmfv 6205 . . . . . . 7 𝑀 ∈ dom ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2321, 22sylnbir 321 . . . . . 6 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ𝑀) = ∅)
2423sseq2d 3625 . . . . 5 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
2524biimpac 503 . . . 4 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26 ss0 3965 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27 sumeq1 14400 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28 sum0 14433 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
2927, 28syl6eq 2670 . . . 4 (𝐴 = ∅ → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3025, 26, 293syl 18 . . 3 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
3118, 30pm2.61dan 831 . 2 (𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
32 fz1f1o 14422 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)))
33 eqidd 2621 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑓𝑛) → 0 = 0)
34 simpl 473 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
35 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)
36 0cnd 10018 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37 elfznn 12355 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
384fvconst2 6454 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4039adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
4133, 34, 35, 36, 40fsum 14432 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)))
42 nnuz 11708 . . . . . . . . . 10 ℕ = (ℤ‘1)
4342ser0 12836 . . . . . . . . 9 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)) = 0)
4443adantr 481 . . . . . . . 8 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)) = 0)
4541, 44eqtrd 2654 . . . . . . 7 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4645ex 450 . . . . . 6 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4746exlimdv 1859 . . . . 5 ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴 → Σ𝑘𝐴 0 = 0))
4847imp 445 . . . 4 (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
4929, 48jaoi 394 . . 3 ((𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto𝐴)) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5032, 49syl 17 . 2 (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
5131, 50jaoi 394 1 ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wo 383  wa 384   = wceq 1481  wex 1702  wcel 1988  wss 3567  c0 3907  ifcif 4077  𝒫 cpw 4149  {csn 4168   class class class wbr 4644   × cxp 5102  dom cdm 5104  Fun wfun 5870  wf 5872  1-1-ontowf1o 5875  cfv 5876  (class class class)co 6635  Fincfn 7940  cc 9919  0cc0 9921  1c1 9922   + caddc 9924  cn 11005  cz 11362  cuz 11672  ...cfz 12311  seqcseq 12784  #chash 13100  cli 14196  Σcsu 14397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1720  ax-4 1735  ax-5 1837  ax-6 1886  ax-7 1933  ax-8 1990  ax-9 1997  ax-10 2017  ax-11 2032  ax-12 2045  ax-13 2244  ax-ext 2600  ax-rep 4762  ax-sep 4772  ax-nul 4780  ax-pow 4834  ax-pr 4897  ax-un 6934  ax-inf2 8523  ax-cnex 9977  ax-resscn 9978  ax-1cn 9979  ax-icn 9980  ax-addcl 9981  ax-addrcl 9982  ax-mulcl 9983  ax-mulrcl 9984  ax-mulcom 9985  ax-addass 9986  ax-mulass 9987  ax-distr 9988  ax-i2m1 9989  ax-1ne0 9990  ax-1rid 9991  ax-rnegex 9992  ax-rrecex 9993  ax-cnre 9994  ax-pre-lttri 9995  ax-pre-lttrn 9996  ax-pre-ltadd 9997  ax-pre-mulgt0 9998  ax-pre-sup 9999
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1037  df-3an 1038  df-tru 1484  df-ex 1703  df-nf 1708  df-sb 1879  df-eu 2472  df-mo 2473  df-clab 2607  df-cleq 2613  df-clel 2616  df-nfc 2751  df-ne 2792  df-nel 2895  df-ral 2914  df-rex 2915  df-reu 2916  df-rmo 2917  df-rab 2918  df-v 3197  df-sbc 3430  df-csb 3527  df-dif 3570  df-un 3572  df-in 3574  df-ss 3581  df-pss 3583  df-nul 3908  df-if 4078  df-pw 4151  df-sn 4169  df-pr 4171  df-tp 4173  df-op 4175  df-uni 4428  df-int 4467  df-iun 4513  df-br 4645  df-opab 4704  df-mpt 4721  df-tr 4744  df-id 5014  df-eprel 5019  df-po 5025  df-so 5026  df-fr 5063  df-se 5064  df-we 5065  df-xp 5110  df-rel 5111  df-cnv 5112  df-co 5113  df-dm 5114  df-rn 5115  df-res 5116  df-ima 5117  df-pred 5668  df-ord 5714  df-on 5715  df-lim 5716  df-suc 5717  df-iota 5839  df-fun 5878  df-fn 5879  df-f 5880  df-f1 5881  df-fo 5882  df-f1o 5883  df-fv 5884  df-isom 5885  df-riota 6596  df-ov 6638  df-oprab 6639  df-mpt2 6640  df-om 7051  df-1st 7153  df-2nd 7154  df-wrecs 7392  df-recs 7453  df-rdg 7491  df-1o 7545  df-oadd 7549  df-er 7727  df-en 7941  df-dom 7942  df-sdom 7943  df-fin 7944  df-sup 8333  df-oi 8400  df-card 8750  df-pnf 10061  df-mnf 10062  df-xr 10063  df-ltxr 10064  df-le 10065  df-sub 10253  df-neg 10254  df-div 10670  df-nn 11006  df-2 11064  df-3 11065  df-n0 11278  df-z 11363  df-uz 11673  df-rp 11818  df-fz 12312  df-fzo 12450  df-seq 12785  df-exp 12844  df-hash 13101  df-cj 13820  df-re 13821  df-im 13822  df-sqrt 13956  df-abs 13957  df-clim 14200  df-sum 14398
This theorem is referenced by:  fsum00  14511  fsumdvds  15011  pwp1fsum  15095  pcfac  15584  ovoliunnul  23256  vitalilem5  23362  itg1addlem5  23448  itg10a  23458  itg0  23527  itgz  23528  plymullem1  23951  coemullem  23987  logtayl  24387  ftalem5  24784  chp1  24874  logexprlim  24931  bposlem2  24991  rpvmasumlem  25157  axcgrid  25777  axlowdimlem16  25818  indsumin  30058  plymulx0  30598  signsplypnf  30601  fsum2dsub  30659  knoppndvlem6  32483  volsupnfl  33425  binomcxplemnn0  38368  binomcxplemnotnn0  38375  sumnnodd  39662  stoweidlem37  40017  fourierdlem103  40189  fourierdlem104  40190  etransclem24  40238  etransclem32  40246  etransclem35  40249  sge0z  40355  aacllem  42312
  Copyright terms: Public domain W3C validator