MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumrblem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumrblem 14562
Description: Lemma for sumrb 14564. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
sumrb.3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
Assertion
Ref Expression
sumrblem ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumrblem
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addid2 10332 . . 3 (𝑛 ∈ ℂ → (0 + 𝑛) = 𝑛)
21adantl 473 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ ℂ) → (0 + 𝑛) = 𝑛)
3 0cnd 10146 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℂ)
4 sumrb.3 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
54adantr 472 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
6 iftrue 4200 . . . . . . . . . 10 (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
76adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 𝐵)
8 summo.2 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
97, 8eqeltrd 2803 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
109ex 449 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ))
11 iffalse 4203 . . . . . . . 8 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
12 0cn 10145 . . . . . . . 8 0 ∈ ℂ
1311, 12syl6eqel 2811 . . . . . . 7 𝑘𝐴 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1410, 13pm2.61d1 171 . . . . . 6 (𝜑 → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
1514adantr 472 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ℤ) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
16 summo.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
1715, 16fmptd 6500 . . . 4 (𝜑𝐹:ℤ⟶ℂ)
1817adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝐹:ℤ⟶ℂ)
19 eluzelz 11810 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
204, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2120adantr 472 . . 3 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2218, 21ffvelrnd 6475 . 2 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (𝐹𝑁) ∈ ℂ)
23 elfzelz 12456 . . . . 5 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → 𝑛 ∈ ℤ)
2423adantl 473 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ ℤ)
25 simplr 809 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑁))
2620zcnd 11596 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
2726ad2antrr 764 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
28 ax-1cn 10107 . . . . . . . 8 1 ∈ ℂ
29 npcan 10403 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3027, 28, 29sylancl 697 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3130fveq2d 6308 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)) = (ℤ𝑁))
3225, 31sseqtr4d 3748 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ⊆ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
33 fznuz 12536 . . . . . 6 (𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3433adantl 473 . . . . 5 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛 ∈ (ℤ‘((𝑁 − 1) + 1)))
3532, 34ssneldd 3712 . . . 4 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → ¬ 𝑛𝐴)
3624, 35eldifd 3691 . . 3 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴))
37 fveq2 6304 . . . . 5 (𝑘 = 𝑛 → (𝐹𝑘) = (𝐹𝑛))
3837eqeq1d 2726 . . . 4 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐹𝑘) = 0 ↔ (𝐹𝑛) = 0))
39 eldifi 3840 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → 𝑘 ∈ ℤ)
40 eldifn 3841 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → ¬ 𝑘𝐴)
4140, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) = 0)
4241, 12syl6eqel 2811 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ)
4316fvmpt2 6405 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℤ ∧ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0) ∈ ℂ) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4439, 42, 43syl2anc 696 . . . . 5 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
4544, 41eqtrd 2758 . . . 4 (𝑘 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑘) = 0)
4638, 45vtoclga 3376 . . 3 (𝑛 ∈ (ℤ ∖ 𝐴) → (𝐹𝑛) = 0)
4736, 46syl 17 . 2 (((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐹𝑛) = 0)
482, 3, 5, 22, 47seqid 12961 1 ((𝜑𝐴 ⊆ (ℤ𝑁)) → (seq𝑀( + , 𝐹) ↾ (ℤ𝑁)) = seq𝑁( + , 𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1596  wcel 2103  cdif 3677  wss 3680  ifcif 4194  cmpt 4837  cres 5220  wf 5997  cfv 6001  (class class class)co 6765  cc 10047  0cc0 10049  1c1 10050   + caddc 10052  cmin 10379  cz 11490  cuz 11800  ...cfz 12440  seqcseq 12916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1835  ax-4 1850  ax-5 1952  ax-6 2018  ax-7 2054  ax-8 2105  ax-9 2112  ax-10 2132  ax-11 2147  ax-12 2160  ax-13 2355  ax-ext 2704  ax-sep 4889  ax-nul 4897  ax-pow 4948  ax-pr 5011  ax-un 7066  ax-cnex 10105  ax-resscn 10106  ax-1cn 10107  ax-icn 10108  ax-addcl 10109  ax-addrcl 10110  ax-mulcl 10111  ax-mulrcl 10112  ax-mulcom 10113  ax-addass 10114  ax-mulass 10115  ax-distr 10116  ax-i2m1 10117  ax-1ne0 10118  ax-1rid 10119  ax-rnegex 10120  ax-rrecex 10121  ax-cnre 10122  ax-pre-lttri 10123  ax-pre-lttrn 10124  ax-pre-ltadd 10125  ax-pre-mulgt0 10126
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1599  df-ex 1818  df-nf 1823  df-sb 2011  df-eu 2575  df-mo 2576  df-clab 2711  df-cleq 2717  df-clel 2720  df-nfc 2855  df-ne 2897  df-nel 3000  df-ral 3019  df-rex 3020  df-reu 3021  df-rab 3023  df-v 3306  df-sbc 3542  df-csb 3640  df-dif 3683  df-un 3685  df-in 3687  df-ss 3694  df-pss 3696  df-nul 4024  df-if 4195  df-pw 4268  df-sn 4286  df-pr 4288  df-tp 4290  df-op 4292  df-uni 4545  df-iun 4630  df-br 4761  df-opab 4821  df-mpt 4838  df-tr 4861  df-id 5128  df-eprel 5133  df-po 5139  df-so 5140  df-fr 5177  df-we 5179  df-xp 5224  df-rel 5225  df-cnv 5226  df-co 5227  df-dm 5228  df-rn 5229  df-res 5230  df-ima 5231  df-pred 5793  df-ord 5839  df-on 5840  df-lim 5841  df-suc 5842  df-iota 5964  df-fun 6003  df-fn 6004  df-f 6005  df-f1 6006  df-fo 6007  df-f1o 6008  df-fv 6009  df-riota 6726  df-ov 6768  df-oprab 6769  df-mpt2 6770  df-om 7183  df-1st 7285  df-2nd 7286  df-wrecs 7527  df-recs 7588  df-rdg 7626  df-er 7862  df-en 8073  df-dom 8074  df-sdom 8075  df-pnf 10189  df-mnf 10190  df-xr 10191  df-ltxr 10192  df-le 10193  df-sub 10381  df-neg 10382  df-nn 11134  df-n0 11406  df-z 11491  df-uz 11801  df-fz 12441  df-seq 12917
This theorem is referenced by:  sumrb  14564
  Copyright terms: Public domain W3C validator