Theorem sumpair 39508

Description: Sum of two distinct complex values. The class expression for 𝐴 and 𝐵 normally contain free variable 𝑘 to index it. (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sumpair.1	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
sumpair.3	⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
sumupair.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
sumupair.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
sumupair.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
sumupair.4	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
sumupair.5	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
sumupair.8	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
sumupair.9	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
sumpair	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝐷(𝑘)   𝐸(𝑘)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑘)

Proof of Theorem sumpair

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sumupair.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 𝐵)
2		disjsn2 4279	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({𝐴} ∩ {𝐵}) = ∅)
4		df-pr 4213	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵}))
6		prfi 8276	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} ∈ Fin
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝐴, 𝐵} ∈ Fin)
8		elpri 4230	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵} → (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵))
9		sumupair.8	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 = 𝐷)
10		sumupair.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11	10	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐷 ∈ ℂ)
12	9, 11	eqeltrd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
13		sumupair.9	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 = 𝐸)
14		sumupair.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐸 ∈ ℂ)
16	13, 15	eqeltrd 2730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 = 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
17	12, 16	jaodan 843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑘 = 𝐴 ∨ 𝑘 = 𝐵)) → 𝐶 ∈ ℂ)
18	8, 17	sylan2 490	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}) → 𝐶 ∈ ℂ)
19	3, 5, 7, 18	fsumsplit 14515	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶))
20		sumpair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐷)
21		nfv 1883	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
22		sumupair.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23	20, 21, 9, 22, 10	sumsnd 39499	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 = 𝐷)
24		sumpair.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Ⅎ𝑘𝐸)
25		sumupair.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
26	24, 21, 13, 25, 14	sumsnd 39499	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶 = 𝐸)
27	23, 26	oveq12d 6708	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ {𝐴}𝐶 + Σ𝑘 ∈ {𝐵}𝐶) = (𝐷 + 𝐸))
28	19, 27	eqtrd 2685	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝐴, 𝐵}𝐶 = (𝐷 + 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1523   ∈ wcel 2030  Ⅎwnfc 2780   ≠ wne 2823   ∪ cun 3605   ∩ cin 3606  ∅c0 3948  {csn 4210  {cpr 4212  (class class class)co 6690  Fincfn 7997  ℂcc 9972   + caddc 9977  Σcsu 14460

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-fal 1529  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263  df-sum 14461

This theorem is referenced by:  refsum2cnlem1  39510