MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumodd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumodd 15313
Description: If every term in a sum is odd, then the sum is even iff the number of terms in the sum is even. (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
sumeven.a (𝜑𝐴 ∈ Fin)
sumeven.b ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
sumodd.o ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
Assertion
Ref Expression
sumodd (𝜑 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem sumodd
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6352 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = (♯‘∅))
2 hash0 13350 . . . . 5 (♯‘∅) = 0
31, 2syl6eq 2810 . . . 4 (𝑥 = ∅ → (♯‘𝑥) = 0)
43breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ 0))
5 sumeq1 14618 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
6 sum0 14651 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = 0
75, 6syl6eq 2810 . . . 4 (𝑥 = ∅ → Σ𝑘𝑥 𝐵 = 0)
87breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = ∅ → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ 0))
94, 8bibi12d 334 . 2 (𝑥 = ∅ → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ 0 ↔ 2 ∥ 0)))
10 fveq2 6352 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝑦))
1110breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘𝑦)))
12 sumeq1 14618 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝑦 𝐵)
1312breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = 𝑦 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
1411, 13bibi12d 334 . 2 (𝑥 = 𝑦 → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)))
15 fveq2 6352 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (♯‘𝑥) = (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})))
1615breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧}))))
17 sumeq1 14618 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)
1817breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵))
1916, 18bibi12d 334 . 2 (𝑥 = (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)))
20 fveq2 6352 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (♯‘𝑥) = (♯‘𝐴))
2120breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ (♯‘𝐴)))
22 sumeq1 14618 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → Σ𝑘𝑥 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐵)
2322breq2d 4816 . . 3 (𝑥 = 𝐴 → (2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵 ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
2421, 23bibi12d 334 . 2 (𝑥 = 𝐴 → ((2 ∥ (♯‘𝑥) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑥 𝐵) ↔ (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)))
25 biidd 252 . 2 (𝜑 → (2 ∥ 0 ↔ 2 ∥ 0))
26 eldifi 3875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → 𝑧𝐴)
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑧𝐴)
2827adantl 473 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝐴)
29 sumeven.b . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3029adantlr 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3130ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
32 rspcsbela 4149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝐴 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
3328, 31, 32syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ)
34 sumodd.o . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘𝐴) → ¬ 2 ∥ 𝐵)
3534ralrimiva 3104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵)
36 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘2
37 nfcv 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘
38 nfcsb1v 3690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘𝑧 / 𝑘𝐵
3936, 37, 38nfbr 4851 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
4039nfn 1933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑘 ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵
41 csbeq1a 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑧𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
4241breq2d 4816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑧 → (2 ∥ 𝐵 ↔ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4342notbid 307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4440, 43rspc 3443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧𝐴 → (∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵 → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4526, 44syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → (∀𝑘𝐴 ¬ 2 ∥ 𝐵 → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4635, 45syl5com 31 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
4746a1d 25 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝐴 → (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)))
4847imp32 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)
4933, 48jca 555 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
5049adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
51 sumeven.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
52 ssfi 8345 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ Fin)
5352expcom 450 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐴 → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
5453adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝐴 ∈ Fin → 𝑦 ∈ Fin))
5551, 54syl5com 31 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑦 ∈ Fin))
5655imp 444 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑦 ∈ Fin)
57 simpll 807 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝜑)
58 ssel 3738 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐴 → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
5958adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
6059adantl 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘𝑦𝑘𝐴))
6160imp 444 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝑘𝐴)
6257, 61, 29syl2anc 696 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘𝑦) → 𝐵 ∈ ℤ)
6356, 62fsumzcl 14665 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ)
6463anim1i 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
65 opeo 15291 . . . . . . . . 9 (((𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵) ∧ (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)) → ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
6650, 64, 65syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
6763zcnd 11675 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ)
6833zcnd 11675 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ)
69 addcom 10414 . . . . . . . . . . . 12 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) = (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵))
7069breq2d 4816 . . . . . . . . . . 11 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7170notbid 307 . . . . . . . . . 10 ((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℂ) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7267, 68, 71syl2anc 696 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7372adantr 472 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ (𝑧 / 𝑘𝐵 + Σ𝑘𝑦 𝐵)))
7466, 73mpbird 247 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7574ex 449 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
7663anim1i 593 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
7749adantr 472 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵))
78 opoe 15289 . . . . . . . . 9 (((Σ𝑘𝑦 𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ∧ (𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑧 / 𝑘𝐵)) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
7976, 77, 78syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ ¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
8079ex 449 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 → 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
8180con1d 139 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) → 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵))
8275, 81impbid 202 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
83 bitr3 341 . . . . 5 ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1))))
8482, 83syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)) → (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1))))
85 bicom 212 . . . 4 ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ↔ (2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵 ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
86 bicom 212 . . . 4 ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) ↔ (¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
8784, 85, 863imtr4g 285 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
88 notnotb 304 . . . . 5 (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ ¬ 2 ∥ (♯‘𝑦))
89 hashcl 13339 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ Fin → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
9056, 89syl 17 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℕ0)
9190nn0zd 11672 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘𝑦) ∈ ℤ)
92 oddp1even 15270 . . . . . . 7 ((♯‘𝑦) ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9391, 92syl 17 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9493notbid 307 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (¬ ¬ 2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9588, 94syl5bb 272 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ ¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
9695bibi1d 332 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵)))
97 simprr 813 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ (𝐴𝑦))
98 eldifn 3876 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ¬ 𝑧𝑦)
9998adantl 473 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → ¬ 𝑧𝑦)
10099adantl 473 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ¬ 𝑧𝑦)
10156, 100jca 555 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦))
102 hashunsng 13373 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝐴𝑦) → ((𝑦 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑦) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1)))
10397, 101, 102sylc 65 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) = ((♯‘𝑦) + 1))
104103breq2d 4816 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1)))
105 vex 3343 . . . . . . . 8 𝑧 ∈ V
106105a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧 ∈ V)
107 df-nel 3036 . . . . . . . 8 (𝑧𝑦 ↔ ¬ 𝑧𝑦)
108100, 107sylibr 224 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → 𝑧𝑦)
109 simpll 807 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝜑)
110 elun 3896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) ↔ (𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}))
11159com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘𝑦 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
112 elsni 4338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ∈ {𝑧} → 𝑘 = 𝑧)
113 eleq1w 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑧 → (𝑘𝐴𝑧𝐴))
11427, 113syl5ibr 236 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑧 → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
115112, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ {𝑧} → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
116111, 115jaoi 393 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘𝑦𝑘 ∈ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
117110, 116sylbi 207 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → 𝑘𝐴))
118117com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦)) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
119118adantl 473 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝐴))
120119imp 444 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝑘𝐴)
121109, 120, 29syl2anc 696 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})) → 𝐵 ∈ ℤ)
122121ralrimiva 3104 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ)
123 fsumsplitsnun 14683 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ Fin ∧ (𝑧 ∈ V ∧ 𝑧𝑦) ∧ ∀𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
12456, 106, 108, 122, 123syl121anc 1482 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 = (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))
125124breq2d 4816 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → (2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵 ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
126104, 125bibi12d 334 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ↔ (2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
127 notbi 308 . . . 4 ((2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵)))
128126, 127syl6bb 276 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵) ↔ (¬ 2 ∥ ((♯‘𝑦) + 1) ↔ ¬ 2 ∥ (Σ𝑘𝑦 𝐵 + 𝑧 / 𝑘𝐵))))
12987, 96, 1283imtr4d 283 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑦𝐴𝑧 ∈ (𝐴𝑦))) → ((2 ∥ (♯‘𝑦) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝑦 𝐵) → (2 ∥ (♯‘(𝑦 ∪ {𝑧})) ↔ 2 ∥ Σ𝑘 ∈ (𝑦 ∪ {𝑧})𝐵)))
1309, 14, 19, 24, 25, 129, 51findcard2d 8367 1 (𝜑 → (2 ∥ (♯‘𝐴) ↔ 2 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wo 382  wa 383   = wceq 1632  wcel 2139  wnel 3035  wral 3050  Vcvv 3340  csb 3674  cdif 3712  cun 3713  wss 3715  c0 4058  {csn 4321   class class class wbr 4804  cfv 6049  (class class class)co 6813  Fincfn 8121  cc 10126  0cc0 10128  1c1 10129   + caddc 10131  2c2 11262  0cn0 11484  cz 11569  chash 13311  Σcsu 14615  cdvds 15182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1871  ax-4 1886  ax-5 1988  ax-6 2054  ax-7 2090  ax-8 2141  ax-9 2148  ax-10 2168  ax-11 2183  ax-12 2196  ax-13 2391  ax-ext 2740  ax-rep 4923  ax-sep 4933  ax-nul 4941  ax-pow 4992  ax-pr 5055  ax-un 7114  ax-inf2 8711  ax-cnex 10184  ax-resscn 10185  ax-1cn 10186  ax-icn 10187  ax-addcl 10188  ax-addrcl 10189  ax-mulcl 10190  ax-mulrcl 10191  ax-mulcom 10192  ax-addass 10193  ax-mulass 10194  ax-distr 10195  ax-i2m1 10196  ax-1ne0 10197  ax-1rid 10198  ax-rnegex 10199  ax-rrecex 10200  ax-cnre 10201  ax-pre-lttri 10202  ax-pre-lttrn 10203  ax-pre-ltadd 10204  ax-pre-mulgt0 10205  ax-pre-sup 10206
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1635  df-fal 1638  df-ex 1854  df-nf 1859  df-sb 2047  df-eu 2611  df-mo 2612  df-clab 2747  df-cleq 2753  df-clel 2756  df-nfc 2891  df-ne 2933  df-nel 3036  df-ral 3055  df-rex 3056  df-reu 3057  df-rmo 3058  df-rab 3059  df-v 3342  df-sbc 3577  df-csb 3675  df-dif 3718  df-un 3720  df-in 3722  df-ss 3729  df-pss 3731  df-nul 4059  df-if 4231  df-pw 4304  df-sn 4322  df-pr 4324  df-tp 4326  df-op 4328  df-uni 4589  df-int 4628  df-iun 4674  df-br 4805  df-opab 4865  df-mpt 4882  df-tr 4905  df-id 5174  df-eprel 5179  df-po 5187  df-so 5188  df-fr 5225  df-se 5226  df-we 5227  df-xp 5272  df-rel 5273  df-cnv 5274  df-co 5275  df-dm 5276  df-rn 5277  df-res 5278  df-ima 5279  df-pred 5841  df-ord 5887  df-on 5888  df-lim 5889  df-suc 5890  df-iota 6012  df-fun 6051  df-fn 6052  df-f 6053  df-f1 6054  df-fo 6055  df-f1o 6056  df-fv 6057  df-isom 6058  df-riota 6774  df-ov 6816  df-oprab 6817  df-mpt2 6818  df-om 7231  df-1st 7333  df-2nd 7334  df-wrecs 7576  df-recs 7637  df-rdg 7675  df-1o 7729  df-oadd 7733  df-er 7911  df-en 8122  df-dom 8123  df-sdom 8124  df-fin 8125  df-sup 8513  df-oi 8580  df-card 8955  df-cda 9182  df-pnf 10268  df-mnf 10269  df-xr 10270  df-ltxr 10271  df-le 10272  df-sub 10460  df-neg 10461  df-div 10877  df-nn 11213  df-2 11271  df-3 11272  df-n0 11485  df-z 11570  df-uz 11880  df-rp 12026  df-fz 12520  df-fzo 12660  df-seq 12996  df-exp 13055  df-hash 13312  df-cj 14038  df-re 14039  df-im 14040  df-sqrt 14174  df-abs 14175  df-clim 14418  df-sum 14616  df-dvds 15183
This theorem is referenced by:  evensumodd  15314  oddsumodd  15315  vtxdgoddnumeven  26659
  Copyright terms: Public domain W3C validator