Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  summolem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem summolem2 14491
 Description: Lemma for summo 14492. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
summo.1 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
summo.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
summo.3 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
Assertion
Ref Expression
summolem2 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦,𝐴   𝑓,𝐹,𝑘,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝑘,𝐺,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑚,𝑛,𝑦   𝐵,𝑓,𝑚,𝑛,𝑥,𝑦   𝜑,𝑥,𝑓
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐺(𝑓)

Proof of Theorem summolem2
Dummy variables 𝑔 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6229 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → (ℤ𝑚) = (ℤ𝑗))
21sseq2d 3666 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ↔ 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗)))
3 seqeq1 12844 . . . . 5 (𝑚 = 𝑗 → seq𝑚( + , 𝐹) = seq𝑗( + , 𝐹))
43breq1d 4695 . . . 4 (𝑚 = 𝑗 → (seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ↔ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
52, 4anbi12d 747 . . 3 (𝑚 = 𝑗 → ((𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)))
65cbvrexv 3202 . 2 (∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥) ↔ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥))
7 simplrr 818 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)
8 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗))
9 uzssz 11745 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤ𝑗) ⊆ ℤ
10 zssre 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ ⊆ ℝ
119, 10sstri 3645 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ𝑗) ⊆ ℝ
128, 11syl6ss 3648 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
13 ltso 10156 . . . . . . . . . . . 12 < Or ℝ
14 soss 5082 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or 𝐴))
1512, 13, 14mpisyl 21 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → < Or 𝐴)
16 fzfi 12811 . . . . . . . . . . . 12 (1...𝑚) ∈ Fin
17 ovex 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...𝑚) ∈ V
1817f1oen 8018 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴 → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
1918ad2antll 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (1...𝑚) ≈ 𝐴)
2019ensymd 8048 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ≈ (1...𝑚))
21 enfii 8218 . . . . . . . . . . . 12 (((1...𝑚) ∈ Fin ∧ 𝐴 ≈ (1...𝑚)) → 𝐴 ∈ Fin)
2216, 20, 21sylancr 696 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fz1iso 13284 . . . . . . . . . . 11 (( < Or 𝐴𝐴 ∈ Fin) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
2415, 22, 23syl2anc 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → ∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
25 summo.1 . . . . . . . . . . . . 13 𝐹 = (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘𝐴, 𝐵, 0))
26 simplll 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝜑)
27 summo.2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
2826, 27sylan 487 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
29 summo.3 . . . . . . . . . . . . 13 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑓𝑛) / 𝑘𝐵)
30 eqid 2651 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵) = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑔𝑛) / 𝑘𝐵)
31 simprll 819 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑚 ∈ ℕ)
32 simpllr 815 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑗 ∈ ℤ)
33 simplrl 817 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝐴 ⊆ (ℤ𝑗))
34 simprlr 820 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)
35 simprr 811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))
3625, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35summolem2a 14490 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) ∧ 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴))) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
3736expr 642 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
3837exlimdv 1901 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → (∃𝑔 𝑔 Isom < , < ((1...(#‘𝐴)), 𝐴) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
3924, 38mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
40 climuni 14327 . . . . . . . . 9 ((seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥 ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
417, 39, 40syl2anc 694 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴)) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
4241anassrs 681 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → 𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚))
43 eqeq2 2662 . . . . . . 7 (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → (𝑥 = 𝑦𝑥 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)))
4442, 43syl5ibrcom 237 . . . . . 6 (((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) ∧ 𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴) → (𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚) → 𝑥 = 𝑦))
4544expimpd 628 . . . . 5 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4645exlimdv 1901 . . . 4 ((((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4746rexlimdva 3060 . . 3 (((𝜑𝑗 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
4847r19.29an 3106 . 2 ((𝜑 ∧ ∃𝑗 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑗) ∧ seq𝑗( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
496, 48sylan2b 491 1 ((𝜑 ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ𝑚) ∧ seq𝑚( + , 𝐹) ⇝ 𝑥)) → (∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto𝐴𝑦 = (seq1( + , 𝐺)‘𝑚)) → 𝑥 = 𝑦))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1523  ∃wex 1744   ∈ wcel 2030  ∃wrex 2942  ⦋csb 3566   ⊆ wss 3607  ifcif 4119   class class class wbr 4685   ↦ cmpt 4762   Or wor 5063  –1-1-onto→wf1o 5925  ‘cfv 5926   Isom wiso 5927  (class class class)co 6690   ≈ cen 7994  Fincfn 7997  ℂcc 9972  ℝcr 9973  0cc0 9974  1c1 9975   + caddc 9977   < clt 10112  ℕcn 11058  ℤcz 11415  ℤ≥cuz 11725  ...cfz 12364  seqcseq 12841  #chash 13157   ⇝ cli 14259 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1762  ax-4 1777  ax-5 1879  ax-6 1945  ax-7 1981  ax-8 2032  ax-9 2039  ax-10 2059  ax-11 2074  ax-12 2087  ax-13 2282  ax-ext 2631  ax-rep 4804  ax-sep 4814  ax-nul 4822  ax-pow 4873  ax-pr 4936  ax-un 6991  ax-inf2 8576  ax-cnex 10030  ax-resscn 10031  ax-1cn 10032  ax-icn 10033  ax-addcl 10034  ax-addrcl 10035  ax-mulcl 10036  ax-mulrcl 10037  ax-mulcom 10038  ax-addass 10039  ax-mulass 10040  ax-distr 10041  ax-i2m1 10042  ax-1ne0 10043  ax-1rid 10044  ax-rnegex 10045  ax-rrecex 10046  ax-cnre 10047  ax-pre-lttri 10048  ax-pre-lttrn 10049  ax-pre-ltadd 10050  ax-pre-mulgt0 10051  ax-pre-sup 10052 This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1055  df-3an 1056  df-tru 1526  df-ex 1745  df-nf 1750  df-sb 1938  df-eu 2502  df-mo 2503  df-clab 2638  df-cleq 2644  df-clel 2647  df-nfc 2782  df-ne 2824  df-nel 2927  df-ral 2946  df-rex 2947  df-reu 2948  df-rmo 2949  df-rab 2950  df-v 3233  df-sbc 3469  df-csb 3567  df-dif 3610  df-un 3612  df-in 3614  df-ss 3621  df-pss 3623  df-nul 3949  df-if 4120  df-pw 4193  df-sn 4211  df-pr 4213  df-tp 4215  df-op 4217  df-uni 4469  df-int 4508  df-iun 4554  df-br 4686  df-opab 4746  df-mpt 4763  df-tr 4786  df-id 5053  df-eprel 5058  df-po 5064  df-so 5065  df-fr 5102  df-se 5103  df-we 5104  df-xp 5149  df-rel 5150  df-cnv 5151  df-co 5152  df-dm 5153  df-rn 5154  df-res 5155  df-ima 5156  df-pred 5718  df-ord 5764  df-on 5765  df-lim 5766  df-suc 5767  df-iota 5889  df-fun 5928  df-fn 5929  df-f 5930  df-f1 5931  df-fo 5932  df-f1o 5933  df-fv 5934  df-isom 5935  df-riota 6651  df-ov 6693  df-oprab 6694  df-mpt2 6695  df-om 7108  df-1st 7210  df-2nd 7211  df-wrecs 7452  df-recs 7513  df-rdg 7551  df-1o 7605  df-oadd 7609  df-er 7787  df-en 7998  df-dom 7999  df-sdom 8000  df-fin 8001  df-sup 8389  df-oi 8456  df-card 8803  df-pnf 10114  df-mnf 10115  df-xr 10116  df-ltxr 10117  df-le 10118  df-sub 10306  df-neg 10307  df-div 10723  df-nn 11059  df-2 11117  df-3 11118  df-n0 11331  df-z 11416  df-uz 11726  df-rp 11871  df-fz 12365  df-fzo 12505  df-seq 12842  df-exp 12901  df-hash 13158  df-cj 13883  df-re 13884  df-im 13885  df-sqrt 14019  df-abs 14020  df-clim 14263 This theorem is referenced by:  summo  14492
 Copyright terms: Public domain W3C validator