MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2sdv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2sdv 14626
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2sdv.1 (𝜑𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2sdv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2sdv
StepHypRef Expression
1 sumeq2sdv.1 . . 3 (𝜑𝐵 = 𝐶)
21adantr 472 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2dv 14624 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1624  wcel 2131  Σcsu 14607
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1863  ax-4 1878  ax-5 1980  ax-6 2046  ax-7 2082  ax-8 2133  ax-9 2140  ax-10 2160  ax-11 2175  ax-12 2188  ax-13 2383  ax-ext 2732  ax-sep 4925  ax-nul 4933  ax-pow 4984  ax-pr 5047  ax-un 7106  ax-cnex 10176  ax-resscn 10177  ax-1cn 10178  ax-icn 10179  ax-addcl 10180  ax-addrcl 10181  ax-mulcl 10182  ax-mulrcl 10183  ax-mulcom 10184  ax-addass 10185  ax-mulass 10186  ax-distr 10187  ax-i2m1 10188  ax-1ne0 10189  ax-1rid 10190  ax-rnegex 10191  ax-rrecex 10192  ax-cnre 10193  ax-pre-lttri 10194  ax-pre-lttrn 10195  ax-pre-ltadd 10196  ax-pre-mulgt0 10197
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 384  df-an 385  df-3or 1073  df-3an 1074  df-tru 1627  df-fal 1630  df-ex 1846  df-nf 1851  df-sb 2039  df-eu 2603  df-mo 2604  df-clab 2739  df-cleq 2745  df-clel 2748  df-nfc 2883  df-ne 2925  df-nel 3028  df-ral 3047  df-rex 3048  df-reu 3049  df-rab 3051  df-v 3334  df-sbc 3569  df-csb 3667  df-dif 3710  df-un 3712  df-in 3714  df-ss 3721  df-pss 3723  df-nul 4051  df-if 4223  df-pw 4296  df-sn 4314  df-pr 4316  df-tp 4318  df-op 4320  df-uni 4581  df-iun 4666  df-br 4797  df-opab 4857  df-mpt 4874  df-tr 4897  df-id 5166  df-eprel 5171  df-po 5179  df-so 5180  df-fr 5217  df-we 5219  df-xp 5264  df-rel 5265  df-cnv 5266  df-co 5267  df-dm 5268  df-rn 5269  df-res 5270  df-ima 5271  df-pred 5833  df-ord 5879  df-on 5880  df-lim 5881  df-suc 5882  df-iota 6004  df-fun 6043  df-fn 6044  df-f 6045  df-f1 6046  df-fo 6047  df-f1o 6048  df-fv 6049  df-riota 6766  df-ov 6808  df-oprab 6809  df-mpt2 6810  df-om 7223  df-1st 7325  df-2nd 7326  df-wrecs 7568  df-recs 7629  df-rdg 7667  df-er 7903  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-pnf 10260  df-mnf 10261  df-xr 10262  df-ltxr 10263  df-le 10264  df-sub 10452  df-neg 10453  df-nn 11205  df-n0 11477  df-z 11562  df-uz 11872  df-fz 12512  df-seq 12988  df-sum 14608
This theorem is referenced by:  sumsplit  14690  fsumrlim  14734  incexclem  14759  bpolylem  14970  bpolyval  14971  efval  15001  rpnnen2lem12  15145  pcfac  15797  ramcl  15927  cshwshashnsame  16004  fsumcn  22866  fsum2cn  22867  lebnumlem3  22955  uniioombllem6  23548  itg1climres  23672  itgeq1f  23729  itgeq2  23735  dvmptfsum  23929  elplyr  24148  plyeq0lem  24157  plyadd  24164  plymul  24165  coeeu  24172  coelem  24173  coeeq  24174  coeidlem  24184  coeid  24185  coeid2  24186  plyco  24188  plycjlem  24223  aareccl  24272  taylply2  24313  pserdvlem2  24373  pserdv  24374  abelthlem6  24381  abelthlem9  24385  logtayl  24597  leibpi  24860  basellem3  25000  dchrvmasum2if  25377  dchrvmaeq0  25384  rpvmasum2  25392  dchrisum0re  25393  brcgr  25971  axsegcon  25998  dipfval  27858  ipval  27859  fsumiunle  29876  itgeq12dv  30689  eulerpartleme  30726  eulerpartlemr  30737  eulerpartlemn  30744  reprsum  30992  reprsuc  30994  reprpmtf1o  31005  vtsval  31016  iprodgam  31927  fwddifnval  32568  knoppndvlem6  32806  knoppf  32824  rrnmval  33932  fsumshftd  34733  fsumcnf  39671  dvmptfprod  40655  stoweidlem17  40729  stoweidlem26  40738  stoweidlem30  40742  stoweidlem32  40744  dirkertrigeq  40813  dirkeritg  40814  fourierdlem83  40901  fourierdlem103  40921  etransclem46  40992  nnsum3primes4  42178  nnsum4primesodd  42186  nnsum4primesoddALTV  42187  nnsum4primesevenALTV  42191  nn0sumshdiglemB  42916  nn0sumshdiglem1  42917  aacllem  43052
  Copyright terms: Public domain W3C validator