MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sumeq2dv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sumeq2dv 14641
Description: Equality deduction for sum. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
sumeq2dv.1 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
Assertion
Ref Expression
sumeq2dv (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem sumeq2dv
StepHypRef Expression
1 sumeq2dv.1 . . 3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 = 𝐶)
21ralrimiva 3115 . 2 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 = 𝐶)
32sumeq2d 14640 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  Σcsu 14624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-fz 12534  df-seq 13009  df-sum 14625
This theorem is referenced by:  sumeq2sdv  14643  2sumeq2dv  14644  sumeq12dv  14645  sumeq12rdv  14646  fsumf1o  14662  fsumss  14664  fsumsplit  14679  isummulc1  14702  isumdivc  14703  isumge0  14705  fsum2dlem  14709  fsumshftm  14720  fsum0diag2  14722  fsummulc1  14724  fsumdivc  14725  fsumneg  14726  fsumsub  14727  fsum2mul  14728  telfsumo2  14742  fsumparts  14745  hashiun  14761  hash2iun  14762  hash2iun1dif1  14763  ackbijnn  14767  binomlem  14768  binom1p  14770  incexclem  14775  incexc  14776  incexc2  14777  isum1p  14780  arisum  14799  trireciplem  14801  geoserg  14805  geo2sum  14811  mertenslem1  14823  mertenslem2  14824  mertens  14825  binomfallfaclem2  14977  binomrisefac  14979  bpolylem  14985  bpolydiflem  14991  fsumkthpow  14993  efaddlem  15029  rpnnen2lem10  15158  rpnnen2lem11  15159  fsumdvds  15239  pwp1fsum  15322  phisum  15702  pcfac  15810  ramcl  15940  lagsubg2  17863  sylow2a  18241  rrxcph  23399  trirn  23402  rrxmval  23407  rrxmet  23410  ovoliunnul  23495  ovolicc2lem4  23508  uniioombllem4  23574  vitalilem5  23600  itg1addlem4  23686  itg1addlem5  23687  itg1mulc  23691  itg10a  23697  itg1climres  23701  itgss  23798  itgeqa  23800  itgsplit  23822  elply2  24172  elplyd  24178  plyeq0lem  24186  plyaddlem1  24189  plymullem1  24190  coeeulem  24200  coeeq2  24218  coemullem  24226  coe1termlem  24234  plycjlem  24252  plyrecj  24255  dvply1  24259  elqaalem3  24296  aareccl  24301  aannenlem1  24303  taylpval  24341  dvtaylp  24344  pserdvlem2  24402  pserdv2  24404  abelthlem8  24413  abelthlem9  24414  abelth  24415  logtayl  24627  leibpi  24890  birthdaylem2  24900  amgmlem  24937  emcllem5  24947  fsumharmonic  24959  lgamcvg2  25002  ftalem5  25024  basellem3  25030  basellem8  25035  sgmval2  25090  fsumdvdscom  25132  dvdsflsumcom  25135  musum  25138  musumsum  25139  muinv  25140  fsumdvdsmul  25142  sgmppw  25143  1sgmprm  25145  chtlepsi  25152  pclogsum  25161  vmasum  25162  logfac2  25163  chpval2  25164  chpchtsum  25165  logexprlim  25171  logfacrlim2  25172  perfectlem2  25176  dchrsum2  25214  sumdchr2  25216  dchrhash  25217  dchr2sum  25219  sum2dchr  25220  pcbcctr  25222  bposlem2  25231  lgsquadlem1  25326  lgsquadlem2  25327  chebbnd1lem1  25379  rplogsumlem1  25394  rplogsumlem2  25395  rpvmasumlem  25397  dchrisumlem1  25399  dchrisumlem2  25400  dchrmusum2  25404  dchrvmasumlem1  25405  dchrvmasum2lem  25406  dchrvmasum2if  25407  dchrvmasumiflem1  25411  dchrvmasumiflem2  25412  dchrisum0flblem1  25418  dchrisum0fno1  25421  rpvmasum2  25422  dchrisum0lem2a  25427  dchrisum0lem2  25428  dchrisum0lem3  25429  dchrisum0  25430  rplogsum  25437  mudivsum  25440  mulogsumlem  25441  mulogsum  25442  mulog2sumlem1  25444  mulog2sumlem2  25445  mulog2sumlem3  25446  vmalogdivsum2  25448  vmalogdivsum  25449  2vmadivsumlem  25450  logsqvma  25452  logsqvma2  25453  selberglem1  25455  selberglem2  25456  selberg  25458  selberg2  25461  selberg3lem1  25467  selberg4lem1  25470  selberg4  25471  pntrsumo1  25475  selbergr  25478  selberg3r  25479  selberg4r  25480  selberg34r  25481  pntsval2  25486  pntrlog2bndlem4  25490  pntrlog2bndlem5  25491  pntpbnd1  25496  pntlemk  25516  pntlemo  25517  axcgrrflx  26015  axcgrid  26017  axsegconlem1  26018  axsegconlem9  26026  ax5seglem1  26029  ax5seglem2  26030  ax5seglem9  26038  axlowdimlem16  26058  axlowdimlem17  26059  ecgrtg  26084  finsumvtxdg2ssteplem3  26678  rusgrnumwwlks  27123  fusgrhashclwwlkn  27237  fusgreghash2wsp  27520  numclwwlk6  27589  indsum  30423  indsumin  30424  eulerpartlemsv1  30758  eulerpartlemsf  30761  eulerpartlemgs2  30782  eulerpartlemn  30783  plymulx0  30964  signsvfn  30999  fsum2dsub  31025  reprsuc  31033  hashreprin  31038  reprpmtf1o  31044  breprexplema  31048  breprexplemc  31050  breprexp  31051  breprexpnat  31052  vtsprod  31057  circlemeth  31058  circlemethnat  31059  circlevma  31060  circlemethhgt  31061  hgt750lemd  31066  hgt750lemb  31074  hgt750lema  31075  subfaclim  31508  fwddifnp1  32609  knoppndvlem6  32845  rrnmet  33960  jm2.22  38088  jm2.23  38089  flcidc  38270  binomcxplemnn0  39074  binomcxplemdvsum  39080  binomcxplemnotnn0  39081  mccllem  40347  isumneg  40352  sumnnodd  40380  dvnmul  40676  dvnprodlem2  40680  dvnprodlem3  40681  stoweidlem37  40771  dirkertrigeqlem2  40833  dirkertrigeqlem3  40834  fourierdlem81  40921  fourierdlem83  40923  fourierdlem93  40933  fourierdlem103  40943  fourierdlem104  40944  elaa2lem  40967  etransclem23  40991  etransclem24  40992  etransclem31  40999  etransclem32  41000  etransclem35  41003  etransclem46  41014  rrxtopnfi  41023  rrndistlt  41027  sge0z  41109  sge0fsummpt  41124  sge0sup  41125  sge0resplit  41140  sge0split  41143  sge0ltfirpmpt2  41160  omeiunltfirp  41253  carageniuncllem2  41256  hoidmvlelem2  41330  hoidmvlelem3  41331  pwdif  42029  perfectALTVlem2  42159  nnsum3primesprm  42206  nnsum3primesgbe  42208  nnsum4primeseven  42216  altgsumbc  42658  altgsumbcALT  42659  nn0sumshdiglemA  42941  nn0sumshdiglemB  42942  nn0sumshdig  42945  aacllem  43078  amgmwlem  43079
  Copyright terms: Public domain W3C validator